Econométrie et la fonction de densité de probabilité (pdf)
UN fonction de densité de probabilité
Sommaire
où Xj représente les valeurs possibles (résultats) de variable aléatoire X. En d'autres termes, les chances d'un événement aléatoire survenant doivent être n'importe où à partir impossible (probabilité de 0) à certains (probabilité de 1), et la somme des probabilités pour tous les événements doit être 1 (ou 100 pour cent).
Le PDF pour les variables aléatoires discrètes
Si vous observez une variable aléatoire discrète, le PDF peut être décrit dans un tableau ou un graphique. Pour construire une table, vous définissez une colonne avec les valeurs possibles de la variable aléatoire et une colonne avec la probabilité qu'ils vont se produisent.
Dans une représentation graphique de la PDF (un graphique à barres), vous souhaitez placer les valeurs possibles de la variable aléatoire sur l'axe horizontal, et la hauteur des barres verticales à chaque valeur en évidence la probabilité qu'ils se produisent.
Supposez que vous effectuez une expérience qui consiste à lancer trois pièces en même temps. Vous êtes intéressé par le nombre de fois qu'ils atterrissent heads-up, alors appelez le nombre de têtes observé variable aléatoire X. Le tableau répertorie les résultats possibles de cette expérience et les valeurs X générée par le processus.
Résultat | Première Coin | Deuxième Coin | Troisième Coin | Nombre de chefs, X |
---|---|---|---|---|
1 | T | T | T | 0 |
2 | T | T | H | 1 |
3 | T | H | T | 1 |
4 | H | T | T | 1 |
5 | T | H | H | 2 |
6 | H | H | T | 2 |
7 | H | T | H | 2 |
8 | H | H | H | 3 |
Sur les huit résultats possibles, vous obtenez 0 têtes dans un résultat, 1 tête dans trois résultats, 2 têtes à trois résultats, et 3 têtes à un résultat. Vous pouvez résumer l'information avec une représentation tabulaire ou graphique de la PDF pour X.
Vous voyez 8 résultats totaux et quatre valeurs possibles pour X: 0, 1, 2 et 3. Cette information vous permet de calculer la probabilité associée à chaque X valeur. Par example, X = 0 se produit qu'une seule fois, alors F(X = 0) = 1/8 = 0,125. Le tableau suivant montre les probabilités pour l'autre X valeurs et sous forme de tableau de la PDF.
X | f (X) |
---|---|
0 | 1/8 = 0,125 |
1 | 3/8 = 0,375 |
2 | 3/8 = 0,375 |
3 | 1/8 = 0,125 |
Notez que les probabilités dans le droit; colonne de droite ajoutent à 1. Les probabilités totales pour toute expérience doit toujours être égal à 1.
Le PDF pour les variables aléatoires continues
Si vous observez une variable aléatoire continue, le PDF peut être décrit dans une fonction ou un graphique. La fonction montre comment se comporte la variable aléatoire sur toute plage de valeurs possibles. Dans une représentation graphique de la PDF, les valeurs possibles de la variable aléatoire sont sur l'axe horizontal, et une courbe (sans les barres ou les pauses) est quelque part au dessus de l'axe.
Le PDF en continu la plus courante est celle d'une variable aléatoire distribuée normalement. La représentation graphique de ce PDF est montré ici.
Quelles que soient les valeurs de la moyenne et l'écart type, la densité totale (surface) sous la courbe est égale à 1. En outre, environ 68 pour cent de la densité se trouve à un écart-type, environ 95 pour cent de la densité se trouve à deux norme déviations, et environ 99,7 pour cent de la densité est dans les trois écarts-types.
Parce que une variable aléatoire continue peut prendre une infinité de valeurs, la probabilité qu'une valeur spécifique se produit est nul!
Un exemple peut aider à illustrer ce point. Supposons un enseignant choisit au hasard un de ses étudiants économétrie. Quelle est la probabilité que l'étudiant sera exactement 21 ans de l'âge? Réponse: essentiellement zéro.
La raison est que l'étudiant devrait être choisi au hasard à l'précise jour, heure, minute, seconde, et la fraction de seconde qui il ou elle est née il ya 21 ans. Ce serait pratiquement impossible. Il y aurait, toutefois, être quelque chance de sélectionner au hasard un étudiant qui est entre les âges de 20 et 22.
Probabilités avec des variables aléatoires continues sont mesurées sur des intervalles. Mathématiquement, cette mesure de probabilité est exprimée en
où Xun et Xb sont des valeurs possibles qui peuvent être prises par la variable aléatoire X.