Analyser un circuit RLC en utilisant des méthodes de Laplace

Utilisation de la transformée de Laplace dans le cadre de votre analyse de circuit vous fournit une prédiction de la réponse du circuit. Analyser les pôles de la transformée de Laplace pour avoir une idée générale du comportement de sortie. Pôles réels, par exemple, indiquent le comportement de sortie exponentielle.

Suivez ces étapes de base pour analyser un circuit en utilisant des techniques de Laplace:

  1. Développer l'équation différentielle dans le domaine du temps en utilisant les lois de Kirchhoff et équations d'éléments.

  2. Appliquer la transformation de Laplace de l'équation différentielle pour mettre en équation la s-domaine.

  3. Résoudre algébriquement pour la solution, ou transformer réponse.

  4. Appliquer la transformation de Laplace inverse pour produire la solution de l'équation différentielle originale décrite dans le domaine temporel.

Pour vous familiariser avec ce processus, il vous suffit de pratiquer l'appliquer à différents types de circuits tels que une RC (résistance-condensateur) circuit, un RL (résistance-inductance) circuit, et une (résistance-inductance-condensateur) circuit RLC .

Ici vous pouvez voir un circuit RLC dans lequel l'interrupteur a été ouvert pendant une longue période. L'interrupteur est fermé à l'heure t = 0.

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Dans ce circuit, vous avez l'équation KVL suivante:

vR(t) + vL(t) + v (t) = 0



Ensuite, formuler l'équation de l'élément (ou i-v caractéristique) pour chaque appareil. La loi d'Ohm décrit la tension aux bornes de la résistance (en notant que i (t) = iL(t) parce que le circuit est branché en série, où I (s) = IL(s) sont les transformées de Laplace):

vR(t) = i (t) R

Élément de l'équation de la bobine d'inductance est donnée par

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Et l'élément de l'équation de condensateur est

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Ici, vC(0) = V0 est la condition initiale, et il est égal à 5 ​​volts.

En substituant les équations d'éléments, vR(t), vC(t), et vL(t), dans l'équation KVL vous donne l'équation suivante (avec un nom de fantaisie: le integro différentiel équation):

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L'étape suivante consiste à appliquer la transformée de Laplace à l'équation précédente pour trouver un Est) qui satisfait l'équation intégro-différentielle pour un ensemble donné de conditions initiales:

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L'équation précédente utilise la propriété de linéarité vous permettant de prendre la transformée de Laplace de chaque terme. Pour le premier terme sur le côté gauche de l'équation, vous utilisez la propriété de différenciation pour obtenir transformer la suivante:

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Cette équation utilise jeL(s) = # 8466-[ce)], et je0 est le courant circulant à travers la première bobine d'inductance. Étant donné que le commutateur est ouvert pendant une longue période, l'état initial je0 est égale à zéro.

Pour le second terme de l'équation KVL traiter avec la résistance R, la transformation de Laplace est tout simplement

# 8466- [i (t) R] = I (s) R

Pour le troisième terme dans l'expression KVL traiter avec condensateur C, tu as

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La transformée de Laplace de l'intégro-différentielle équation devient

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Réorganiser l'équation et à résoudre pour Est):

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Pour obtenir la solution dans le domaine temporel ce), utiliser le tableau ci-dessous, et notez que l'équation précédente a la forme d'une sinusoïde d'amortissement.

image9.jpg

Maintenant, vous branchez je0 = 0 et quelques numéros de cette figure:

image10.jpg

Maintenant vous avez cette équation:

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Vous vous retrouvez avec la solution suivante:

i (t) = [-0.01e-400t sin500t] u (t)

Pour ce circuit RLC, vous avez une sinusoïde d'amortissement. Les oscillations vont mourir après une longue période de temps. Pour cet exemple, la constante de temps est 1/400 et mourra après 5/400 = 1/80 secondes.


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