Combiner les solutions pour les petites et grandes r r dans le schr & # 246-Dinger équation
Lorsque vous appliquez la mécanique Schr # 246-Dinger équation quantique pour un atome d'hydrogène, vous avez besoin de mettre en place les solutions pour les petites r et grand r. L'équation Schr # 246-Dinger vous donne une solution à la Schr # 246-Dinger équation radiale pour un atome d'hydrogène comme suit:
où f (r) Est une fonction non encore constatés, indéterminée r. Votre prochaine tâche consiste à déterminer f (r), Que vous faites en substituant cette équation dans le Schr # 246-Dinger équation radiale, vous donnant la suivante:
Exécution de la substitution vous donne l'équation différentielle suivante:
Une équation différentielle assez, hein? Mais juste asseoir et vous détendre - vous le résoudre avec une série de puissance, ce qui est une façon courante de résolution d'équations différentielles. Voici la forme de puissance série de f (r) utiliser:
En substituant l'équation précédente dans la précédente vous donne
Modification de l'indice du second mandat de k à k - 1 vous donne
Parce que chaque terme de cette série doit être nul, vous avez
Divisant par rk-2 te donne
Cette équation donne la relation de récurrence de la série infinie,
Autrement dit, si vous en avez un coefficient, vous pouvez obtenir le prochain utilisant cette équation. Qu'est-ce que vous achetez? Eh bien, jetez un oeil au rapport de unk/unk-1:
Voici ce que ce ratio se rapproche de k tend vers l'infini:
Ceci ressemble à l'expansion de eX, qui est
Pour ce qui est de e2X, le rapport de mandats successifs est
Et dans la limite
le rapport des coefficients de dilatation successives de e2X deux approches /k:
Cela est le cas pour e2X. Pour f (r), tu as
En comparant ces deux équations, il est évident que
La fonction d'onde radiale, Rnl(r), Ressemble à ceci:
où
Brancher la forme que vous avez pour f (r),
Ok, si vous en réjouir? Et bien non. Voici ce que la fonction d'onde
ressemble:
Et son remplacement dans votre forme de Rnl(r) À partir de cette équation vous donne
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Vérification des solutions d'équations différentielles -
L'application de la schr & # 246 équation-Dinger en trois dimensions -
L'application de l'équation radiale à l'extérieur du puits carré -
Calculer la fonction d'onde d'un atome d'hydrogène utilisant le schr & # 246 équation-Dinger -
Détermination de la partie radiale d'une fonction d'onde -
Trouver le schr & # 246-Dinger équation pour l'atome d'hydrogène
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