Comment ajouter en fonction du temps et d'obtenir une équation physique pour des problèmes de particules libres en trois dimensions
À un certain point, votre instructeur physique quantique peut vouloir que vous ajoutez en fonction du temps et d'obtenir une équation physique pour un problème de particule libre en trois dimensions. Vous pouvez ajouter en fonction du temps à la solution pour
si vous vous souvenez que, pour une particule libre,
Cette équation vous donne ce formulaire
Car
l'équation devient
En fait, maintenant que le côté droit de l'équation est en termes de vecteur de rayon r, vous pouvez faire le match de gauche:
Voilà la solution à la Schr # 246-Dinger équation, mais il est non physique. Pourquoi? Essayer de normaliser cette équation en trois dimensions, par exemple, vous donne la suivante, où A est une constante:
(Rappelez-vous que l'astérisque
Ainsi, les intégrale diverge et vous ne pouvez pas normaliser
Comme il est écrit ici. Alors, que faites-vous ici pour obtenir une particule physique?
La clé pour résoudre ce problème est de réaliser que si vous avez un certain nombre de solutions à la Schr # 246-Dinger équation, toute combinaison linéaire de ces solutions est aussi une solution. En d'autres termes, vous ajoutez diverses fonctions d'onde ensemble de sorte que vous obtenez un paquet d'ondes, qui est une collection de fonctions d'onde de la forme
tel que
Les fonctions d'onde interfèrent de manière constructive à un seul endroit.
Ils interfèrent de façon destructive (aller à zéro) à tous les autres endroits.
Regardez la version indépendante du temps:
Cependant, pour une particule libre, les états d'énergie ne sont pas séparés en GROUPES- distincte les énergies possibles sont continues, afin que les gens écrivent ce sommation comme une intégrale:
Alors, quelle est
Il est l'analogue tridimensionnel de
Cela est, il est l'amplitude de chaque fonction d'onde composant. Tu peux trouver
à partir de la transformée de Fourier
comme ça:
Dans la pratique, vous choisissez
vous-même. Regardez un exemple, en utilisant le formulaire ci-dessous pour
qui est pour un paquet d'ondes gaussien (Note: La partie exponentielle est ce qui rend ce une forme d'onde gaussien):
où un et A sont des constantes. Vous pouvez commencer par la normalisation
pour déterminer ce qui est Un. Voici comment ça fonctionne:
Bien. Effectuer l'intégrale vous donne
ce qui signifie que la fonction d'onde est
Vous pouvez évaluer cette équation pour vous donner le suivant, qui est ce que la fonction d'onde indépendante du temps pour un paquet d'ondes gaussien ressemble en 3D:
-
L'application de la schr & # 246 équation-Dinger en trois dimensions -
L'application de l'équation radiale à l'extérieur du puits carré -
L'application de l'équation radiale à l'intérieur du puits carré -
Détermination de la partie radiale d'une fonction d'onde -
Trouver les limites pour petits et grands rho d'une particule libre -
Trouver l'équation de l'énergie totale pour des problèmes de particules libres en trois dimensions
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