Comment changer les coordonnées rectangulaires aux coordonnées sphériques

En physique quantique, de trouver les fonctions propres réels (et non seulement les états propres) des opérateurs de moment angulaire comme L2 et moiz, vous tournez à partir des coordonnées rectangulaires, X, y, et z, à coordonnées sphériques, car ça va faire le calcul beaucoup plus simple (après tout, le moment angulaire est sur les choses de tourner en rond). La figure suivante montre le système de coordonnées sphériques.

Le système de coordonnées sphériques.
Le système de coordonnées sphériques.

Dans le rectangulaire (cartésienne) système de coordonnées, vous utilisez X, y, et z pour vous orienter. Dans le système de coordonnées sphérique, vous utilisez également trois quantités:

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comme le montre la figure. Vous pouvez traduire entre le système de coordonnées sphérique et le rectangulaire de cette façon: Le r vecteur est le vecteur de longueur de la particule qui a un moment angulaire,

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est l'angle de r du z axe, et

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est l'angle de r du X axe.

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Considérons les équations pour le moment angulaire:

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Lorsque vous prenez les équations de moment angulaire avec les équations de conversion-système sphérique coordonnées, vous pouvez déduire la suivante:

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Bon, ces équations semblent très impliqués. Mais il ya une chose à remarquer: Ils ne dépendent que de

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ce qui signifie leurs états propres dépendent uniquement

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pas sur r. Ainsi, les fonctions propres des opérateurs dans la liste précédente peuvent être désignés comme ceci:

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Traditionnellement, vous donnez le nom

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les fonctions propres de moment angulaire en coordonnées sphériques, vous avez donc la suivante:

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Tout à droite, le temps de travailler sur la recherche de la forme réelle de

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Vous savez que lorsque vous utilisez la L2 et moiz opérateurs sur les états propres de moment angulaire, vous obtenez ceci:

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Donc, les conditions suivantes doivent être remplies:

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En fait, vous pouvez aller plus loin. On notera que Lz ne dépend que de

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ce qui suggère que vous pouvez fractionner

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en une partie qui dépend de

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et une partie qui dépend de

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Fractionnement

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en parties ressemble à ceci:

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Voilà ce qui fait de travailler avec coordonnées sphériques si utile - vous pouvez diviser les fonctions propres en deux parties, l'une qui dépend seulement

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et une partie qui ne dépend que de

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