Comment estimer l'emplacement d'une particule en appliquant schr & # l'équation de 246-Dinger à un paquet d'ondes
Si vous avez un certain nombre de solutions à la Schr # 246-Dinger équation, toute combinaison linéaire de ces solutions est aussi une solution. Voilà donc la clé pour obtenir une particule physique: Vous ajoutez diverses fonctions d'onde ensemble de sorte que vous obtenez un paquet d'ondes, qui est une collection de fonctions d'onde de la forme
telles que les fonctions d'onde interfèrent de manière constructive à un endroit et interfèrent de façon destructive (aller à zéro) à tous les autres endroits:
Ceci est habituellement écrit comme une intégrale en continu:
Qu'est-ce que
Il est l'amplitude de chaque fonction d'onde composant, et vous pouvez trouver
à partir de la transformée de Fourier de l'équation:
Car
vous pouvez aussi écrire les équations de paquets d'onde de ce genre, en termes de p, pas k:
Eh bien, vous pouvez vous demander tout simplement ce qui se passe ici. Ça ressemble à
Cela semble assez circulaire.
La réponse est que les deux équations précédentes ne sont pas de définitions
ils sont juste équations reliant les deux. Vous êtes libre de choisir votre propre paquet d'ondes façonner vous-même - par exemple, vous pouvez spécifier la forme
Voici un exemple dans lequel vous obtenez le béton, la sélection d'une forme réelle de paquet d'ondes. Choisissez un paquet dite onde gaussienne, que vous pouvez voir dans la figure - localisée en un seul endroit, proche de zéro dans les autres.
L'amplitude
vous pouvez choisir pour ce paquet d'onde est
Vous commencez en normalisant
pour déterminer ce qui est Un. Voici comment ça fonctionne:
Substituant dans
vous donne cette équation:
Faire l'intégrale (ce qui signifie la recherchant dans les tables de mathématiques) vous donne la
suivante:
Alors, voici votre fonction d'onde:
Ce petit bijou d'une intégrale peut être évalué pour vous donner les éléments suivants:
Voilà donc la fonction d'onde pour ce paquet d'ondes gaussien (Note: L'exp [-X2/un2] Est la partie gaussienne qui donne le paquet d'ondes de la forme distinctive que vous voyez dans la figure) - et il ya déjà normalisée.
Maintenant, vous pouvez utiliser cette fonction de paquet d'ondes pour déterminer la probabilité que la particule sera, disons, la région
La probabilité est
Dans ce cas, l'intégrale est
Et cela fonctionne à être
Ainsi, la probabilité que la particule sera dans la région
Frais!
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