Comment trouver l'état propre de l'énergie d'un oscillateur harmonique dans l'espace de position

En physique quantique, vous pouvez utiliser des opérateurs pour déterminer l'état propre de l'énergie d'un oscillateur harmonique dans l'espace de position. Le charme de l'aide des opérateurs un et

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est que, étant donné l'état du sol, | 0>, ces opérateurs vous permettent de trouver tous les états d'énergie successives. Si vous voulez trouver un état excité d'un oscillateur harmonique, vous pouvez commencer avec l'état du sol, | 0>, et appliquer l'opérateur de sensibilisation,

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Par exemple, vous pouvez faire ceci:

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Et ainsi de suite. En général, vous avez cette relation:

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Pouvez-vous pas obtenir un état propre spatiale de ce vecteur propre? Quelque chose comme

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pas seulement | 0>? Oui vous pouvez. En d'autres termes, vous voulez trouver

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Donc, vous devez les représentations de

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dans l'espace de position.




La p opérateur est défini comme

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Car

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tu peux écrire

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Et l'écriture

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ceci devient

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Bon, que dire de la un opérateur? Tu le sais

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Et cela

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Donc,

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Vous pouvez également écrire cette équation

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Bon, alors voilà un dans la représentation de la position. Qu'est-ce

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Qui se révèle être la suivante:

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Il est maintenant temps d'être intelligent. Vous voulez résoudre pour | 0> dans l'espace de la position, ou lt; X | 0>. Voici la partie intelligente - lorsque vous utilisez l'opérateur abaissement, un, sur | 0>, vous devez obtenir 0 parce qu'il n'y a pas d'état inférieur à l'état du sol, de sorte un | 0> = 0. Et l'application de la lt; X | soutien-gorge vous donne lt; X | un | 0> = 0.

Voilà intelligent car il va vous donner une équation différentielle homogène (qui est, celui qui est égale à zéro). Tout d'abord, vous substituez pour un:

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En multipliant les deux côtés par

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vous donne la suite

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La solution de cette équation différentielle est compact

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Voilà une fonction gaussienne, si l'état d'un oscillateur harmonique de la mécanique quantique au sol est une courbe gaussienne, comme vous le voyez sur la figure.

L'état fondamental d'un oscillateur harmonique de la mécanique quantique.
L'état fondamental d'un oscillateur harmonique de la mécanique quantique.

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