Comment gérer la vitesse comme un vecteur

Velocity est un vecteur, et en tant que tel, il a une amplitude et une direction qui lui est associée. Supposons que vous êtes dans une voiture roulant à l'est à 88 mètres / seconde lorsque vous commencez à accélérer le nord à 5,0 mètres / seconde²

pour 10,0 secondes. Quelle est votre vitesse finale?

Vous pouvez penser que vous pouvez utiliser cette équation pour déterminer la réponse:

v_F = v_o + un X t

Mais cela ne un vecteur equation- les quantités sont appelés ici scalaires (la grandeur d'un vecteur est un scalaire). Ceci est une équation scalaire, et il est pas approprié d'utiliser ici parce que l'accélération et la vitesse initiale ne sont pas dans la même direction. En fait, la vitesse elle-même est un scalaire, donc vous devez penser en termes de vitesse, mais pas de la vitesse.

Voici la même équation comme une équation vectorielle:

v_F = v_o + un X t

Notez que les vitesses de vitesses sont maintenant (la vitesse est la grandeur d'un vecteur vitesse) et que tout ici est un vecteur, sauf le temps (ce qui est toujours un scalaire). Ce changement signifie que le plus vous effectuez dans cette équation est l'addition des vecteurs, qui est ce que vous voulez parce que vecteurs peuvent gérer plus dans de multiples dimensions, et pas seulement en ligne droite.

Voici les équations du mouvement, écrits comme des équations de vecteur:

v_F = v_o + un X t

Exemple de question

1. Vous êtes dans une voiture roulant à l'est à 88,0 mètres / deuxième puis vous accélérez nord à 5,00 mètres / seconde² pour 10,0 secondes. Quelle est votre vitesse finale?

   La bonne réponse est de 101 mètres / seconde.

1. Commencez avec cette équation vectorielle:

   v_F = v_o + un X t

2. Cette équation est tout simplement l'addition des vecteurs, afin de traiter les quantités en cause en tant que vecteurs.

   C'est, v_o = (88, 0) mètres / seconde et un = (0, 5) mètres / seconde². Voici ce que l'équation ressemble lorsque vous branchez les numéros:

   v_F = (88,0, 0) + (0, 5,00) (10,0)

3. Faire le calcul:

   v_F = (88,0, 0) + (0, 5,00) (10,0) = (88,0, 50,0)

4. Vous êtes invité à trouver la vitesse finale, qui est la grandeur de la vitesse. Branchez vos numéros dans le théorème de Pythagore.

5. Vous pouvez également trouver la direction finale.

   Appliquer le thêta équation = tan^-1(y/X) Pour trouver l'angle, qui est tan^-1(50,0 / 88,0) = tan^-1(0,57) = 29,6 degrés dans ce cas.

Questions pratiques

1. Vous allez 40,0 mètres / seconde à l'est, et puis vous accélérer 10,0 mètres / seconde² au nord de 10.0 secondes. Quels sont le sens et l'ampleur de votre vitesse finale?

2. Vous allez 44,0 mètres / seconde à 35 degrés, et puis vous accélérer plein ouest à 4,0 mètres / seconde² pour 20,0 secondes. Quels sont le sens et l'ampleur de votre vitesse finale?

3. 
   
   
   
   

   Une rondelle de hockey va 100,0 mètres / seconde à 250 degrés quand il est frappé par un bâton de hockey, dont il accélère à 1,0 x 10³ mètres / seconde² à 19 degrés pour 0,10 secondes. Quels sont le sens et l'ampleur de la vitesse finale de la rondelle?

4. Une voiture roule sur une route glacée à 10,0 mètres / seconde à 0 degrés quand il dérape, accélérant à 15 mètres / seconde² à 63 degrés pour 1,0 secondes. Quels sont le sens et l'ampleur de la vitesse finale de la voiture?

Voici les réponses aux questions pratiques:

1. Magnitude 108 mètres / seconde, l'angle de 68 degrés

1. Commencez par cette équation: v_F = v_o + un X t.

2. Branchez les numéros: v_F = (40,0, 0) + (0, 10,0) (10,0) = (40,0, 100,0).

3. Convertir le vecteur (40,0, 100,0) en forme amplitude / angle. Utilisez le thêta équation = tan^-1(y/X) Pour trouver l'angle: tan^-1(100,0 / 40,0) = tan^-1(2,5) = 68 degrés.

4. Appliquer l'équation

   

   pour trouver la vitesse - la grandeur de la vitesse, vous donnant 108 mètres / seconde.

Magnitude 50,7 mètres / seconde, angle de 150 degrés

Commencez par cette équation: v_F = v_o + un X t.

Convertir la vitesse originale en notation composante de vecteur.

Utilisez l'équation v_X = v cos theta pour trouver le X coordonnées du vecteur vitesse originale: 44,0 x cos 35 degrés = 36,0.

Utilisez l'équation v_y = v sin theta pour trouver le y coordonnées de la vitesse: 44,0 x sin 35 degrés, ou 25,2. Donc, la vitesse est (36.0, 25.2) sous forme de coordonnées.

Effectuer l'addition vectorielle: (36.0, 25.2) + (-4,0, 0) (20,0) = (-44,0, 25,2).

Convertir le vecteur (-44,0, 25,2) en forme amplitude / angle.

Utilisez le thêta équation = tan^-1(y/X) Pour trouver l'angle: tan^-1(25,2 / -44,0) = tan^-1(0,57) = 150 degrés.

Appliquer l'équation

pour trouver la vitesse - la grandeur de la vitesse, vous donnant 50,7 mètres / seconde.

Magnitude 86,1 mètres / seconde, angle -46 degrés

Commencez par cette équation: v_F = v_o + un X t.

Convertir la vitesse originale en notation composante de vecteur.

Utilisez l'équation v_X = v cos theta pour trouver le X coordonnées du vecteur vitesse originale: 100,0 x cos 250 degrés = -34.2.

Utilisez l'équation v_y = v sin theta pour trouver le y coordonnées de la vitesse: 100,0 x sin 250 degrés, ou -94,0.

Donc, la vitesse initiale est (-34,2, -94,0) sous forme de coordonnées.

Convertir l'accélération en composants.

Utilisez l'équation un_X = un cos theta pour trouver le X de coordonnées de l'accélération: (1,0 x 10³) cos 19 degrés = 946.

Utilisez l'équation un_y = un sin theta pour trouver le y de coordonnées de l'accélération: (1,0 x 10³) pécher 19 degrés, ou 325.

Donc, l'accélération est (946, 325) sous forme de coordonnées.

Effectuer l'addition vectorielle: (-34,2, -94,0) + (945, 325) (0,1) = (60,3, -61,5).

Convertir le vecteur (60,3, -61,5) en forme amplitude / angle.

Utilisez le thêta équation = tan^-1(y/X) Pour trouver l'angle: tan^-1(61,5 / 60,3) = tan^-1(-1,0) = -46 Degrés.

Appliquer l'équation

pour trouver la vitesse - la grandeur de la vitesse, vous donnant 86,1 mètres / seconde.

Magnitude 21,5 mètres / seconde, l'angle de 39 degrés

Commencez par cette équation: v_F = v_o + un X t.

Convertir la vitesse originale en notation de vecteur de composante: (10.0, 0) mètres / seconde.

Convertir l'accélération en composants. Utilisez l'équation un_X = un cos theta pour trouver le X coordonnées de l'accélération: 15 x cos 63 degrés = 6,8.

Utilisez l'équation un_y = un sin theta pour trouver le y coordonnées de l'accélération: 15 x sin 63 degrés, ou 13,4.

Donc, l'accélération est (6.8, 13.4) sous forme de coordonnées.

Effectuer l'addition vectorielle: (10.0, 0) + (6,8, 13,4) (1,0) = (16,8, 13,4).

Convertir le vecteur (16.8, 13.4) en forme amplitude / angle.

Utilisez le thêta équation = tan^-1(y/X) Pour trouver l'angle: tan^-1(13,4 / 16,8) = tan^-1(0,79) = 39 degrés.

Appliquer l'équation

pour trouver la grandeur de la vitesse, vous donnant 21,5 mètres / seconde.