Comment utiliser des opérateurs de création et d'annihilation de résoudre les problèmes de oscillateur harmonique

Création et annihilation peut sembler grandes sortes d'idées make-or-break-le-univers, mais ils jouer un rôle dans le monde quantique lorsque vous travaillez avec des oscillateurs harmoniques. Vous utilisez les opérateurs de création et d'annihilation de résoudre les problèmes de oscillateur harmonique car cela est une façon intelligente de gérer l'équation hamiltonien plus difficile. Voici ce que ces deux opérateurs font:

  • Opérateur de création. L'opérateur de création augmente le niveau d'énergie d'un état propre d'un niveau, donc si l'oscillateur harmonique est au quatrième niveau d'énergie, l'opérateur de création soulève au cinquième niveau.

  • Opérateur annihilation. L'opérateur d'annihilation fait l'inverse, l'abaissement états propres d'un niveau.

Ces opérateurs facilitent le résoudre pour le spectre d'énergie sans beaucoup de travail pour résoudre les états propres réels. En d'autres termes, vous pouvez comprendre l'ensemble du spectre d'énergie en regardant la différence d'énergie entre les états propres.

Voici comment les gens à résoudre généralement pour le spectre d'énergie. D'abord, vous présenter deux nouveaux opérateurs, p et q, qui sont dimensionless- ils se rapportent à la P (élan) l'opérateur de cette façon:

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Vous utilisez ces deux nouveaux opérateurs, p et q, comme la base de l'opérateur d'annihilation, un, et l'opérateur de la création,

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Maintenant, vous pouvez écrire l'oscillateur harmonique hamiltonien comme ça, en termes de

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Quant à la création de nouveaux opérateurs ici, les physiciens quantiques sont devenus fous, même donner un nom à

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Alors, voici comment vous pouvez écrire le hamiltonien:

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L'opérateur retourne le nombre N du niveau de l'oscillateur harmonique d'énergie. Si vous désigner les états propres de N que

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vous obtenez ce, où n est le nombre de la ne Etat:

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puis en comparant les deux équations précédentes, vous avez

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Étonnamment, cela vous donne les valeurs propres de l'énergie de la ne état d'un oscillateur harmonique de la mécanique quantique. Voici donc les états d'énergie:

  • L'énergie de l'état fondamental correspond à n = 0:

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  • Le premier état excité est

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  • Le deuxième état excité a une énergie de

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Et ainsi de suite. Autrement dit, les niveaux d'énergie sont discrètes et non dégénérée (non partagée par deux états). Ainsi, le spectre d'énergie est constitué de bandes équidistantes.


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