Résolution de la fonction d'onde de petite et grande r r en utilisant le schr & # 246 équation-Dinger
Votre instructeur physique quantique peut vous demander de résoudre pour la fonction d'onde d'une particule constitués de masse m
en un atome d'hydrogène. Pour ce faire, vous pouvez commencer par utiliser un Schr # 246-Dinger équation modifiée qui résout pour petits et grands r:Parce que le Schr # 246-Dinger équation contient des termes impliquant soit R ou r mais pas les deux, la forme de cette équation indique qu'il est une équation différentielle séparables. Et cela signifie que vous pouvez regarder pour une solution de la forme suivante:
En substituant l'équation précédente dans la précédente vous donne ce qui suit:
Et en divisant cette équation par
te donne
Cette équation a des termes qui dépendent soit
mais pas les deux. Cela signifie que vous pouvez séparer cette équation en deux équations, comme ceci (où l'énergie totale, E, est égal à ER + Er):
Multipliant
te donne
Et en multipliant
te donne
Maintenant, vous pouvez résoudre pour r, à la fois petits et grands.
Résolution pour les petits r
L'équation Schr # 246-Dinger pour
est la fonction d'onde d'une particule constitués de masse m (dans la pratique,
est assez proche de
donc l'énergie, Er, est assez proche de l'énergie de l'électron). Voici l'équation de Schr # 246-Dinger pour
Vous pouvez rompre la solution,
dans une partie radiale et une partie angulaire:
La partie angulaire
est constitué d'harmoniques sphériques,
alors va bien cette partie. Maintenant que vous avez à résoudre pour la partie radiale, Rnl(r). Voici ce que l'équation n ° 246-Schr dinger devient pour la partie radiale:
où
Pour résoudre cette équation, vous jetez un oeil à deux cas où: - r est très faible et où r est très grande. Les mettre ensemble vous donne la forme approximative de la solution.
Résolution pour les grands r
Pour les très grandes r,
Parce que l'électron se trouve dans un état lié à l'atome d'hydrogène, E lt; 0- ainsi, la solution de l'équation précédente est proportionnel à
Noter que
diverge comme r tend vers l'infini à cause de la
terme, alors B doit être égal à zéro. Cela signifie que