Résolution de la fonction d'onde de petite et grande r r en utilisant le schr & # 246 équation-Dinger

Votre instructeur physique quantique peut vous demander de résoudre pour la fonction d'onde d'une particule constitués de masse m

Sommaire

en un atome d'hydrogène. Pour ce faire, vous pouvez commencer par utiliser un Schr # 246-Dinger équation modifiée qui résout pour petits et grands r:

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Parce que le Schr # 246-Dinger équation contient des termes impliquant soit R ou r mais pas les deux, la forme de cette équation indique qu'il est une équation différentielle séparables. Et cela signifie que vous pouvez regarder pour une solution de la forme suivante:

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En substituant l'équation précédente dans la précédente vous donne ce qui suit:

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Et en divisant cette équation par

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te donne

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Cette équation a des termes qui dépendent soit

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mais pas les deux. Cela signifie que vous pouvez séparer cette équation en deux équations, comme ceci (où l'énergie totale, E, est égal à ER + Er):

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Multipliant

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te donne

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Et en multipliant

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te donne

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Maintenant, vous pouvez résoudre pour r, à la fois petits et grands.

Résolution pour les petits r

L'équation Schr # 246-Dinger pour

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est la fonction d'onde d'une particule constitués de masse m (dans la pratique,

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est assez proche de

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donc l'énergie, Er, est assez proche de l'énergie de l'électron). Voici l'équation de Schr # 246-Dinger pour

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Vous pouvez rompre la solution,

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dans une partie radiale et une partie angulaire:

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La partie angulaire

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est constitué d'harmoniques sphériques,

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alors va bien cette partie. Maintenant que vous avez à résoudre pour la partie radiale, Rnl(r). Voici ce que l'équation n ° 246-Schr dinger devient pour la partie radiale:

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Pour résoudre cette équation, vous jetez un oeil à deux cas où: - r est très faible et où r est très grande. Les mettre ensemble vous donne la forme approximative de la solution.

Résolution pour les grands r

Pour les très grandes r,

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Parce que l'électron se trouve dans un état lié à l'atome d'hydrogène, E lt; 0- ainsi, la solution de l'équation précédente est proportionnel à

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Noter que

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diverge comme r tend vers l'infini à cause de la

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terme, alors B doit être égal à zéro. Cela signifie que

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