Résoudre algébriquement deux équations linéaires

Une solution d'un système de deux équations linéaires comprend les valeurs de X

et y qui font à la fois des équations vrais - dans le même temps. Graphiquement, la solution est le point où les deux lignes se croisent. Les deux méthodes les plus fréquemment utilisées pour les systèmes d'équations linéaires résoudre sont l'élimination et la substitution:

• Élimination (également appelé add-soustraire): Cette méthode consiste à ajouter les deux équations ensemble - ou des multiples de deux équations - de sorte que dans la somme, le coefficient de l'une des variables devient 0. Cette variable abandonne (est éliminé), de sorte que vous pouvez résoudre pour l'autre variable. Ensuite, vous branchez la solution dans l'une des équations originales et de résoudre pour la variable vous avez éliminé.

• Remplacement: Cette méthode a vous définissez l'une des équations égal à X ou y. Vous pouvez ensuite remplacer l'équivalent de la variable d'une équation pour cette variable dans l'autre équation. Vous vous retrouvez avec une seule variable équation, que vous pouvez résoudre. Ensuite, branchez cette réponse dans l'une des équations originales et à résoudre pour l'autre variable.

Vous pouvez utiliser soit la méthode pour résoudre des systèmes linéaires, et vous choisissez l'une sur l'autre si une méthode semble mieux fonctionner dans un système particulier (substitution fonctionne mieux si le coefficient de l'une des variables est 1 ou -1). Les exemples suivants montrent le même système d'équations résolu en utilisant les deux méthodes.

Exemples de questions

1. Utilisez l'élimination à résoudre pour la solution commune dans les deux équations: X + 3y = 4 et 2X + 5y = 5.

   X= -5, y= 3. Multipliez chaque terme dans la première équation de -2 (vous obtenez -2X - 6y = -8), Puis ajouter les termes dans les deux équations ensemble.

   
   
   
   
   

   Vous choisissez le nombre -2 comme un multiplicateur car il rend le coefficient de la X terme dans la première équation égale à -2, tandis que le coefficient de X dans la deuxième équation est 2. Les numéros -2 et 2 sont opposés, afin d'ajouter les équations, élimine le X terme:

   

   Maintenant résoudre -y = -3 Pour y, et vous obtenez y = 3. Mettez 3 pour y dans la première équation originale, et vous avez X + 3 (3) = 4 X + 9 = 4- X = -5. La solution est X = -5, y = 3, également écrit que le couple (-5, 3). Vous pouvez également résoudre pour le X-valeur en plaçant le 3 dans la seconde équation - vous obtenez le même résultat.

2. Utilisez substitution à résoudre pour la solution commune dans les deux équations: X + 3y = 4 et 2X + 5y = 5.

   X = -5, y = 3.Pour utiliser la substitution, sélectionner une variable dans l'une des équations avec un coefficient de 1 ou -1. La seule variable qui est admissible dans ce système est X dans la première équation. Résoudre pour X en terme de y en ce qu 'équation. Vous obtenez X = 4 - 3y.

   Substituer que équivalent de X dans la deuxième équation. La deuxième équation devient 2 (4 - 3y) + 5y = 5. Résoudre l'équation pour y: 8 - 6y + 5y = 5- 8 - y = 5 -y = -3- y = 3. Cette réponse devrait vous être familier. Remplacer le 3 dans X + 3y = 4 pour obtenir X: X + 3 (3) = 4 X + 9 = 4- X = -5.

Questions pratiques

1. Résoudre pour la solution commune dans les deux équations: 5X - 3y = 7 et 2X + 3y = 7.

2. Résoudre pour la solution commune dans les deux équations: 8X - 3y = 41 et 3X + 2y = 6.

3. Résoudre pour la solution commune dans les deux équations: 4X + 5y = 11 et y = 2X + 5.

Voici les réponses aux questions pratiques:

1. La réponse est X= 2, y = 1.

   Les coefficients de la y termes sont opposés les uns des autres, de sorte que lorsque vous ajoutez les deux équations ensemble, vous obtenez 7X = 14- X = 2. Remplacez le X avec deux dans la première équation: 5 (2) - 3y 7- = 10-3y = 7, -3y = -3- y = 1.

2. La réponse est X= 4, y = -3.

   Multiplier les termes de la première équation par 2 et les termes de la deuxième équation par 3. En conséquence, vous vous retrouvez en ajoutant -6y et 6y ensemble, ce qui élimine le y termes lorsque vous ajoutez les deux équations. Vous obtenez 25X = 100- X = 4. Remplacez le X avec 4 dans la deuxième équation: 3 (4) 2 +y 6- = 12 + 2y = 6- 2y = -6- y = -3.

3. La réponse est X= -1, y = 3.

   La deuxième équation est déjà résolu pour y. Remplacer l'équivalent de y à partir de la deuxième équation dans la première équation pour obtenir 4X + 5 (2X + 5) = 11. Distribuer et simplifier: 4X + 10X + 25 = 11- 14X + 25 = 11- 14X = -14- X = -1. Remplace le X avec -1 dans la deuxième équation: y 2 = (-1) = 3 + 5.