Analyser un circuit de premier ordre RL en utilisant des méthodes de Laplace
Utilisation de la transformée de Laplace dans le cadre de votre analyse de circuit vous fournit une prédiction de la réponse du circuit. Analyser les pôles de la transformée de Laplace pour avoir une idée générale du comportement de sortie. Pôles réels, par exemple, indiquent le comportement de sortie exponentielle.
Suivez ces étapes de base pour analyser un circuit en utilisant des techniques de Laplace:
Développer l'équation différentielle dans le domaine du temps en utilisant les lois de Kirchhoff et équations d'éléments.
Appliquer la transformation de Laplace de l'équation différentielle pour mettre en équation la s-domaine.
Résoudre algébriquement pour la solution, ou transformer réponse.
Appliquer la transformation de Laplace inverse pour produire la solution de l'équation différentielle originale décrite dans le domaine temporel.
Pour vous familiariser avec ce processus, il vous suffit de pratiquer l'appliquer à différents types de circuits tels que une RC (résistance-condensateur) circuit, un RL (résistance-inductance) circuit, et une (résistance-inductance-condensateur) circuit RLC .
Voici un circuit RL qui a un commutateur qui a été en position A pour une longue période. Le commutateur se déplace à la position B au moment t = 0.
Pour ce circuit, vous avez l'équation KVL suivante:
vR(t) + vL(t) = 0
Ensuite, formuler l'équation de l'élément (ou i-v caractéristique) pour chaque appareil. En utilisant la loi d'Ohm pour décrire la tension à travers la résistance, vous avez la relation suivante:
vR(t) = iL(t) R
Élément de l'équation de l'inducteur est
En substituant les équations d'éléments, vR(t) et vL(t), dans l'équation KVL vous donne l'équation souhaitée différentiel de premier ordre:
À l'étape 2: Appliquer la transformée de Laplace à l'équation différentielle:
L'équation précédente utilise la propriété de linéarité qui dit que vous pouvez prendre la transformée de Laplace de chaque terme. Pour le premier terme sur le côté gauche de l'équation, vous utilisez la propriété de différenciation:
Cette équation utilise jeL(s) = # 8466-[jeL(t)], et je0 est le courant circulant à travers la première bobine d'inductance.
La transformée de Laplace de l'équation différentielle devient
jeL(s) R + L [SiL(s) - I0] = 0
Résoudre pour jeL(s):
Pour une condition initiale donnée, cette équation fournit la solution jeL(t) à l'équation originale différentiel de premier ordre. Vous effectuez simplement une transformation de Laplace inverse jeL(s) - ou chercher la paire appropriée transformer dans ce tableau - pour revenir à l'époque domaine.
L'équation précédente a une forme exponentielle pour la transformée de Laplace paire. Vous vous retrouvez avec la solution suivante:
Le résultat montre que le temps t tend vers l'infini, le courant initial inducteur finalement éteint à zéro après une longue période de temps - environ 5 constantes de temps (L / R).
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