Connexion d'un série avec ses deux séquences apparentées

Chaque série comporte deux séquences apparentées: une séquence définition et une séquence de sommes partielles. La distinction entre une séquence et une série est le suivant:

Sommaire

  • Une séquence est une liste de nombres séparés par virgules (par exemple, 1, 2, 3, ...).

  • Une série est un somme de nombres séparés par signes plus (par exemple: 1 + 2 + 3 + ...).

Quand vous voyez comment une série et ses deux séquences apparentées sont distinctes, mais aussi liés, vous gagnez une meilleure compréhension de la façon dont le travail en série.

Une série et définissant sa séquence




La première séquence en rapport avec une série est simplement la séquence qui définit la série en premier lieu. Par exemple, voici trois séries écrits en notation sigma et forme développée, chaque paire avec sa séquence définissant:

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Quand une séquence {unn} est déjà défini, vous pouvez utiliser la notation # 8721- unn se référer à la série de départ liées à n = 1. Par exemple, lorsque

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La compréhension de la différence entre une série et la séquence qui définit il est important pour deux raisons. Tout d'abord, et le plus fondamental, vous ne voulez pas d'obtenir les concepts de séquences et séries confus. Mais en second lieu, la séquence qui définit une série peut fournir des informations importantes sur la série.

Une série et ses séquences de sommes partielles

Vous pouvez en apprendre beaucoup sur une série en trouvant le sommes partielles de ses premiers termes. Par exemple, voici une série que vous avez vu avant:

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Et voici les quatre premières sommes partielles de cette série:

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Vous pouvez activer les sommes partielles pour cette série dans une séquence comme suit:

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En général, chaque série # 8721- unn a une séquence liée de sommes partielles {Sn}. Par exemple, voici quelques unes de ces appariements:

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Rappelez-vous que toutes les séries et sa séquence connexe de sommes partielles sont soit à la fois convergente ou à la fois divergentes. En outre, si elles sont à la fois convergentes, les deux convergent vers le même numéro.

Cette règle ne devrait pas grosse surprise. Après tout, une séquence de sommes partielles vous donne simplement un total cumulé de l'endroit où une série va. Pourtant, cette règle peut être utile. Par exemple, supposons que vous voulez savoir si la séquence suivante est convergente ou divergente:

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Que diable est cette séquence, de toute façon? Après un examen plus approfondi, cependant, vous découvrirez qu'il est la suite des sommes partielles pour une série très simple:

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Cette série, appelée série harmonique, est divergente, de sorte que vous pouvez conclure que sa séquence de sommes partielles diverge également.


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