Équations différentielles pour les nuls

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La classification la plus commune d'équations différentielles est basé sur l'ordre. L'ordre d'une équation différentielle est tout simplement l'ordre de son dérivé le plus élevé. Vous pouvez avoir des équations différentielles de premier, deuxième et d'ordre supérieur.

Sommaire

Distinguer entre linéaire, séparables, et les équations différentielles précises
Définition differential equations homogènes et non homogènes
Utilisation de la méthode des coefficients indéterminés

Premier-équations différentielles d'ordre impliquer les dérivés de premier ordre, comme dans cet exemple:

Deuxième-équations différentielles d'ordre impliquer les dérivés du second ordre, comme dans ces exemples:

Supérieur-équations différentielles d'ordre sont ceux impliquant des dérivés plus élevés que le second ordre (grosse surprise de ce nom intelligent!). Équations différentielles de tous ordres peuvent utiliser la y«Notation, comme ceci:

Distinguer entre linéaire, séparables, et les équations différentielles précises

Vous pouvez distinguer les équations différentielles linéaires, séparables, exactes et si vous savez ce qu'il faut chercher. Gardez à l'esprit que vous devrez peut-être remanier une équation pour l'identifier.

Équations différentielles linéaires implique que des dérivés de y et les modalités de y à la première puissance, pas soulevé à une puissance supérieure. (Note: Telle est la puissance du dérivé est porté à, pas le commande . du dérivé) Par exemple, ceci est une équation différentielle linéaire, car il ne contient que des dérivés soulevées à la première mise sous tension:

Séquations différentielles eparable peut être écrit de telle sorte que tous les termes de X et tous les termes y apparaissent sur les côtés opposés de l'équation. Voici un exemple:

qui peut être écrit comme ça avec un petit remaniement:

Équations différentielles précises sont ceux où vous pouvez trouver une fonction dont les dérivées partielles correspondre aux termes de l'équation différentielle donnée un.

Définition Differential Equations homogènes et non homogènes

Afin d'identifier une équation différentielle non homogène, vous devez d'abord savoir ce qu'est une équation différentielle homogène ressemble. Vous devez également souvent de résoudre un avant de pouvoir résoudre l'autre.

Équations différentielles homogènes implique que des dérivés de y et les termes impliquant y, et ils sont mis à 0, comme dans cette équation:

Équations différentielles non homogènes sont les mêmes que les équations différentielles homogènes, sauf qu'ils peuvent avoir des termes impliquant uniquement X (et constantes) sur le côté droit, comme dans cette équation:

Vous pouvez également écrire des équations différentielles non homogènes dans ce format: y'' + p(X)y'+ q(X)y = g(X). La solution générale de cette équation différentielle est inhomogène

Dans cette solution, c₁y₁(X) + c₂y₂(X) Est la solution générale de l'équation différentielle homogène correspondant:

Et y_p(X) Est une solution spécifique à l'équation non homogène.

Utilisation de la méthode des coefficients indéterminés

Si vous avez besoin de trouver des solutions particulières à des équations différentielles non homogènes, alors vous pouvez commencer avec la méthode des coefficients indéterminés. Supposons que vous faites face à l'équation différentielle non homogène suivante:

La Procédé de coefficients indéterminés note que lorsque vous trouvez une solution candidate, y, et le brancher sur la gauche; côté de l'équation, vous vous retrouvez avec g(X). Car g(X) Est seulement une fonction de X, vous pouvez souvent deviner la forme de y_p(X), Jusqu'à coefficients arbitraires, puis résoudre pour les coefficients en branchant y_p(X) Dans l'équation différentielle.

Cette méthode fonctionne parce que vous êtes sur le seul g(X), Et la forme de g(X) Peut souvent vous dire ce que une solution particulière ressemble.

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