Exprimer et se rapprochant de fonctions en utilisant la série de Taylor

Il est important de comprendre la différence entre expressing une fonction comme une série infinie et unpproximating une fonction en utilisant un nombre fini de termes de la série. Vous pouvez penser à une série de puissance comme un polynôme à un nombre infini de termes (polynôme de Taylor).

Chaque série de Taylor fournit la valeur exacte d'une fonction de toutes les valeurs de X lorsque cette série converge. Autrement dit, pour toute valeur de X sur son intervalle de convergence, une série de Taylor converge vers F(X).

Voici la série de Taylor dans toute sa splendeur:

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En pratique, cependant, en ajoutant jusqu'à un nombre infini de termes est tout simplement pas possible. Néanmoins, vous pouvez approcher la valeur de F(X) Par addition d'un nombre fini de la série de Taylor approprié.

Une expression construit à partir d'un nombre fini de termes d'une série de Taylor est appelé Taylor polynôme, Tn(X). Comme d'autres polynômes, un polynôme de Taylor est identifié par son degré. Par exemple, voici le cinquième degré polynôme de Taylor, T5(X), Qui se rapproche eX:

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D'une manière générale, une plus-degré des résultats polynômes à une meilleure approximation. Pour la valeur de eX quand X est proche de 100, vous obtenez une bonne estimation en utilisant un polynôme de Taylor pour eX avec un = 100:

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Pour résumer, rappeler ce qui suit:

  • Une série convergente Taylor exprime la valeur exacte d'une fonction.

  • Un polynôme de Taylor, Tn(X), À partir d'une série convergente se rapproche de la valeur d'une fonction.


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