Comment fonctionne l'intégration: il est juste plus de fantaisie

Le sens le plus fondamental de l'intégration consiste à additionner. Et quand vous peignez l'intégration sur un graphique, vous pouvez voir le processus en ajoutant comme un résumé de bandes rectangulaires minces de domaine pour arriver à la surface totale sous la courbe, comme le montre cette figure.

Vous pouvez calculer la zone ombrée dans la figure ci-dessus en utilisant cette intégrale:

(Notez que tout implique ici précis par opposition à l'intégration indéfini intégration. Intégration définie est où le allongée S symbole de l'intégration a des limites de l'intégration: les deux petits des constantes ou des numéros dans le bas et le haut du symbole. Le allongée S sans limites de l'intégration indique une indéfini intégrale ou primitive.)

Regardez la mince rectangle dans la figure. Il a une hauteur de F(X) Et une largeur de dx (un peu de X), De sorte que sa zone (longueur fois largeur, bien sûr) est donnée par F(X) # 183- dx. L'intégrale ci-dessus vous indique d'ajouter les domaines de toutes les bandes rectangulaires étroites entre un et b sous la courbe F(X). Comme les bandes se rétrécit de plus, vous obtenez une estimation de mieux en mieux de la région. La puissance de l'intégration réside dans le fait qu'il donne la vous exact région en sorte d'ajouter jusqu'à un nombre infini de rectangles infiniment minces.

Indépendamment de ce que les petits morceaux sont que vous ajoutez jusqu'à - ils pourraient être des petits morceaux de la distance ou de volume ou d'énergie (ou juste région) - vous pouvez représenter la somme comme un additionnant des zones de bandes rectangulaires minces sous une courbe . Si les unités à la fois sur la X et y axes sont des unités de longueur, disent, pieds, alors chacun minces mesures rectangle tant de pieds par tant de pieds, et sa zone - longueur fois largeur - est un nombre de pieds carrés. Dans ce cas, la surface totale de tous les rectangles entre un et b vous donne une réponse de la zone (mais pas nécessairement la zone sous la courbe réelle parce que l'échelle peut être different- par exemple, la zone ombrée réelle dans la figure ci-dessus est à quelques pouces carrés, mais votre réponse pourrait être un certain nombre de miles carrés si les deux axes ont été délimités en miles). Le point est que dans ce cas, vous ajoutez le domaines de tous les rectangles, et vous obtenez une région répondre. Habituellement, cependant, même si vous additionnez les domaines de rectangles, votre réponse ne sera pas une réponse de la zone.

Dire les unités sur le X-axe sont (heurest) et le y-axe est étiqueté miles par heure, Ensuite, parce que taux fois temps égal à égal distance, l'aire de chaque rectangle représente une somme de la distance et la surface totale vous donne la distance totale parcourue pendant l'intervalle de temps donné. Ou si le X-axe est étiqueté heures (t) et le y-dans axe kilowatts de l'énergie électrique - dans ce cas, la courbe, F(t), Donne la consommation d'énergie en fonction du temps - puis la zone de chaque bande rectangulaire (kilowatts fois heures) Représente un nombre de kilowattheures d'énergie. Dans ce cas, la superficie totale sous la courbe vous donne le nombre total de kilowatts-heures de consommation d'énergie entre deux points dans le temps.

Une autre possibilité est illustrée par la lampe au-dessus. Dites que vous voulez calculer le volume de la base de la lampe. La figure ci-dessous montre comment vous pourriez le faire avec l'intégration. Dans le graphique, la fonction UN(X) Donne la surface en coupe transversale d'une crêpe fine tranche de la lampe en fonction de la hauteur mesurée à partir du bas de la lampe. Cette fois, la h-axe est étiqueté pouces (ce qui est h comme dans hauteur à partir de la partie inférieure de la lampe), et le y-axe est étiqueté pouces carrés, et donc chaque rectangle mince a une largeur mesurée en pouces et une hauteur mesurée en pouces carrés. Sa superficie représente donc pouces fois pouces carrés, ou pouces cubes de volume.

La région de la mince rectangle dans ce chiffre représente le volume de la crêpe fine tranche de la lampe 5 pouces à partir du bas de la base. La superficie totale ombre et donc le volume de la base de la lampe est donnée par l'intégrale suivante:

Volume = (aire en section transversale) fois (épaisseur)

Cela signifie que l'on additionne les volumes de toutes les tranches minces de crêpes de 0 à 15 pouces (à savoir, à partir du bas vers le haut de la base de la lampe), chaque tranche ayant un volume donné par UN(h() De sa surface en coupe transversale) fois dh (sa hauteur ou l'épaisseur).

Pour résumer - qui est un jeu de mots! - L'expression mathématique pour le droit de tout symbole de l'intégration définitive représente toujours un peu de quelque chose, et l'intégration d'une telle expression signifie pour ajouter tous les petits morceaux entre un point de départ et un point d'arrivée pour déterminer le total entre les deux points .