Comment analyser la convergence absolue et conditionnelle
Beaucoup de séries divergentes des termes positifs convergent si vous modifiez les signes de leurs conditions afin qu'ils alternent entre positif et négatif. Par exemple, vous savez que la série harmonique diverge:
Mais, si vous changez tout autre signe négatif, vous obtenez le série harmonique alternée, qui converge:
Par ailleurs, cette série converge vers ln 2, ce qui équivaut à environ 0,6931.
Une série alternée est dit être conditionnellement convergente si elle est convergente comme il est, mais deviendrait divergente si toutes ses conditions ont été positifs. Une série alternée est dit être absolument convergente si elle serait convergente même si toutes ses conditions ont été positifs. Et une telle série absolument convergente est également automatiquement convergente comme il est.
Voici un exemple. Déterminer la convergence ou la divergence de la série alternée suivant:
Si tous ces termes sont positifs, vous auriez la série géométrique familière,
qui, par la règle de série géométrique, converge vers 2. Parce que la série converge positif, la série alternée doit également converger et vous dire que la série alternée est absolument convergente.
Le fait que la convergence absolue implique la convergence ordinaire est juste du bon sens si vous pensez à ce sujet. La précédente série géométrique de termes positifs converge vers 2. Si vous avez fait tous les termes négatifs, il serait résumé à -2, à droite? Donc, si certains des termes sont positifs et d'autres négatifs, la série doit converger vers quelque chose entre -2 et 2.
Avez-vous remarqué que la série alternée ci-dessus est une série géométrique tel quel avec
(Rappelons que la formule pour la somme d'une série géométrique fonctionne à chaque fois r est comprise entre -1 et 1- cela fonctionne ainsi pour la série en alternance ainsi que pour la série positive) La formule donne sa somme.:
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