Comment calculer la longueur d'arc avec l'intégration
Lorsque vous utilisez l'intégration pour calculer la longueur de l'arc, ce que vous faites (sorte de) est la division d'une longueur de la courbe en infiniment petites sections, déterminer la longueur de chaque petite section, puis en ajoutant tous les petits longueurs. La figure suivante montre comment chaque section d'une courbe peut être approchée par l'hypoténuse d'un petit triangle à droite.
Vous pouvez imaginer que vous zoomez plus en plus sur une courbe, en divisant la courbe dans plus en plus de sections, les sections minute obtiennent droite et droite et les hypoténuses les bons meilleurs triangles et de mieux se rapproche de la courbe. Voilà pourquoi - quand ce processus d'ajout de sections plus en plus petits est prise à la limite - vous obtenez la longueur précise de la courbe.
Donc, tout ce que vous avez à faire est d'ajouter toutes les hypoténuses long de la courbe entre vos points de départ et d'arrivée. Les longueurs des branches de chaque triangle sont infinitésimale dx et dy, et donc la longueur de l'hypoténuse - donnée par le théorème de Pythagore - est
Pour ajouter toutes les hypoténuses partir un à b le long de la courbe, vous intégrez simplement:
Mais d'abord, vous avez à tordre un peu ceci pour produire la formule de longueur d'arc.
La longueur de l'arc le long d'une courbe, y = F(X), de un à b, est donnée par l'intégrale suivante:
L'expression à l'intérieur de cette intégrale est simplement la longueur de l'hypoténuse d'un représentant.
Essayez celui-ci: Quelle est la longueur le long de
de X = 1 à X = 5?
Prenez le dérivé de votre fonction.
Branchez ce dans la formule et à intégrer.
(Voir comment cela fonctionne? Il est la technique d'intégration suppose-et-chèque avec la règle de retour de puissance. Le 4/9 est le montant de tweak vous avez besoin, car le coefficient de 9/4.)
Maintenant, si jamais vous vous trouvez sur une route avec la forme de
et brisé de votre compteur kilométrique, vous pouvez calculer la longueur exacte de votre lecteur. Vos amis seront très impressionnés - ou très préoccupés.
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