Comment changer entre coordonnées polaires et cartésiennes

Vous pouvez utiliser les deux coordonnées polaires et cartésiennes (x, y) coordonnées (aussi connu comme coordonnées rectangulaires) à tout moment pour décrire le même emplacement sur le plan de coordonnées. Parfois, vous aurez un temps plus facile en utilisant une forme, et pour cette raison il est important de savoir comment changer entre les deux. Coordonnées cartésiennes sont beaucoup mieux adapté pour les graphes de lignes droites ou courbes simples. Les coordonnées polaires peuvent vous donner une variété de jolis graphiques, très complexes que vous ne pouvez pas tracer en coordonnées cartésiennes.

Lors du changement vers et à partir des coordonnées polaires, votre travail est souvent plus facile si vous avez toutes vos mesures d'angle en radians. Vous pouvez faire le changement en utilisant le facteur de conversion

Vous pouvez toutefois choisir de laisser vos mesures des angles en degrés, ce qui est bien aussi longtemps que votre calculatrice est dans le bon mode.

x, YLT; / i>) lt; i> lt;. / i> coordonne mappé dans le même plan "/>

Examinez le point sur cette figure, qui illustre un point tracée dans les deux (x, y) Et

Coordonne, vous permettant de voir la relation entre eux.

Quelle est exactement la relation géométrique entre r,

X, et Y? Regardez comment ils sont étiquetés sur le graphique - toutes les parties du même triangle!

Utilisation de droit; triangle trigonométrie, vous connaissez les faits suivants:

Ces équations simplifient en deux expressions très importantes pour X et y en terme de r et

En outre, vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle de droite pour trouver le rayon du triangle si donné X et y:

X² + y² = r²

Une équation finale vous permet de trouver l'angle

il découle de la tangente de l'angle:

Donc, si vous résoudre cette équation pour

vous obtenez l'expression suivante:

En ce qui concerne l'équation finale, garder à l'esprit que votre calculatrice renvoie toujours une valeur de tangente inverse qui met

dans le premier ou le quatrième quadrant. Vous avez besoin de regarder votre X- et y-coordonne et de décider si que le placement est en fait correcte pour le problème à la main. Votre calculatrice ne semble pas pour les possibilités de tangentes dans les deuxième et troisième quadrants, mais cela ne signifie pas que vous ne devez pas!

Ensemble, les quatre équations pour r,

X, et y vous permettent de changer (x, y) Coordonne en polaire

coordonne et revenir à tout moment. Par exemple, pour modifier la coordonnée polaire

à un de coordonnées rectangulaires, suivez ces étapes:

1. Trouvez le X valeur.

   

   Utilisez le cercle unité pour obtenir

   

   ce qui signifie que

   

2. Trouvez le y valeur.

   

   ce qui signifie que y = 1.

3. Exprimer les valeurs des étapes 1 et 2 comme un point de coordonnées.

   Vous trouvez que

   

   est la réponse comme un point.

Temps pour un exemple dans le sens inverse. Étant donné le point (-4, -4), trouver la polaire équivalent de coordonnées:

1. Tracer la (x, y) Premier point.

   
   Un (x, y) Coordonner changé à une coordonnée polaire.

   Cette figure montre l'emplacement du point dans le quadrant III.

2. Trouvez le r valeur.

   Pour cette étape, vous utilisez le théorème de Pythagore pour les coordonnées polaires: X² + y² = r². Branchez ce que vous savez (X = -4 Et y = -4) Pour obtenir (-4)² + (-4)² = r², ou

   

3. Trouver la valeur de

   

   Utilisez le rapport de la tangente pour les coordonnées polaires:

   

   L'angle de référence pour cette valeur est

   

   Vous savez de la figure que le point est dans le troisième quadrant, de sorte

   

4. Exprimer les valeurs des étapes 2 et 3 en tant que coordonnées polaires.

   Tu peux dire ça