Comment différencier implicitement
Parfois, vous êtes invité à différencier une équation qui est pas résolu pour y, aimer y5 + 3X2 = Sin X - 4y3. Cette équation définit y implicitement en fonction de X, et vous ne pouvez pas l'écrire comme une fonction explicite, car il ne peut pas être résolue pour y. Pour un tel problème, vous avez besoin Différenciation implicite. Lorsque différenciation implicite, à toutes les règles dérivés fonctionnent de la même, à une exception près: Lorsque vous différencier un terme avec un y en elle, vous utilisez la règle de la chaîne avec un petit twist.
Par exemple, vous pouvez utiliser la règle de la chaîne de différencier quelque chose comme le péché (X3) Comme suit: commencer par la fonction à l'extérieur, le péché, et de différencier que, ignorant ce qui est à l'intérieur - dans ce cas, X3. Pour vous assurer que vous ignorez l'intérieur, le remplacer temporairement la fonction à l'intérieur avec le mot truc. Dans cet exemple, le dérivé de sinus cosinus est alors la dérivée de sin (truc) est
Vous terminez le problème en trouvant la dérivée de la des trucs, X3, qui est 3X2, et ensuite faire les substitutions pour vous donner
Avec la différenciation implicite, une y fonctionne comme le mot stuff. Ainsi, parce que
La torsion est que, bien que le mot truc est temporairement prendre la place de certains connu fonction de X (X3 dans cet exemple), y est certaine inconnu fonction de X (vous ne savez pas ce que le y égaux en termes de X). Et parce que vous ne savez pas ce que y égal à égal, la y et le
Mais le concept est exactement le même, et vous traiter y tout comme le truc. Vous ne pouvez pas faire de l'interrupteur sur Xs à la fin du problème, comme vous pouvez avec un problème régulier de règle de la chaîne.
Voici un exemple. Différencier y5 + 3X2 = Sin X - 4y3:
Différencier chaque terme les deux côtés de l'équation.
y5 + 3X2 = Sin X - 4y3
Pour les premier et quatrième termes, vous utilisez la règle de puissance et, parce que ces termes contiennent ys, vous utilisez également la règle de la chaîne. Pour le second terme, vous utilisez la règle d'alimentation régulière. Et pour le troisième terme, vous utilisez la règle sine régulière.
Recueillir tous les termes contenant une
sur le côté gauche de l'équation et tous les autres termes sur le côté droit.
Factoriser
Diviser pour la réponse finale.
Notez que ce dérivé est exprimée en termes de X et y au lieu de simplement X. Donc, si vous voulez évaluer le dérivé d'obtenir la pente à un moment donné, vous avez besoin d'avoir des valeurs à la fois pour X et y à brancher sur le dérivé.
A noter également que dans de nombreux manuels, le symbole
est utilisé à la place de
à chaque étape de solutions comme celle montrée ici. Vous pouvez trouver
plus facile et moins lourd à travailler avec. Mais
a l'avantage de vous rappeler que vous trouver la dérivée de y en ce qui concerne X. Quoi qu'il en soit est très bien. Faites votre choix.
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