Comment évaluer une intégrale impropre qui est horizontalement infinie
Intégrales impropres sont utiles pour résoudre divers problèmes. UN horizontalement infinie intégrale impropre contient soit # 8734- ou - # 8734- (ou les deux) comme une limite de l'intégration.
L'évaluation d'une intégrale impropre est un processus en trois étapes:
Exprimez l'intégrale impropre que la limite d'un bon intégrante.
Évaluer l'intégrale par quelque méthode fonctionne.
Évaluer la limite.
Une intégrale impropre horizontale se produit quand une intégrale définie a une limite d'intégration qui est soit # 8734- ou - # 8734-. Ce type d'intégrale impropre est facile à repérer, car l'infini est là, dans la même solidaire. Vous ne pouvez pas le manquer.
Par exemple, supposons que vous voulez évaluer l'intégrale impropre suivante:
Voici comment vous le faites, étape par étape:
Exprimez l'intégrale impropre que la limite d'un bon intégrante.
Lorsque la limite supérieure de l'intégration est # 8734-, utilisez cette équation:
Alors, voici ce que vous faites:
Évaluer l'intégrale:
Évaluer la limite:
Avant de passer, de réfléchir un seul instant que la zone sous une infiniment longue courbe est en fait fini. Ah, la magie et la puissance de calcul!
De même, supposons que vous voulez évaluer les points suivants:
Voici comment faire:
Exprimez l'intégrale comme la limite d'une intégrale appropriée.
Lorsque la limite inférieure de l'intégration est - # 8734-, utilisez cette équation:
Alors, voici ce que vous écrivez:
Évaluer l'intégrale:
Évaluer la limite - dans ce cas, comme c approches - # 8734-, le premier terme est affecté et se rapproche de la deuxième mandat 0:
Encore une fois, le calcul vous dit que, dans ce cas, l'aire sous la courbe infiniment long est finie.
Bien sûr, parfois la surface sous une courbe infiniment long est infini. Dans ces cas, l'intégrale impropre ne peut pas être évalué parce que la limite ne existe pas (DNE). Voici un petit exemple qui illustre cette situation:
Il peut ne pas être évident que cette intégrale impropre représente un domaine infiniment grand. Après tout, la valeur de la fonction se rapproche de 0 que X augmente. Mais regarder comment cette évaluation joue:
Exprimez l'intégrale impropre comme la limite d'une intégrale appropriée:
Évaluer l'intégrale:
À ce stade, vous pouvez voir que la limite explose à l'infini, de sorte qu'il ne existe pas. Par conséquent, l'intégrale impropre ne peut pas être évaluée, parce que la région qu'il représente est infinie.
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