Comment évaluer une intégrale impropre qui est verticalement infinie
Intégrales impropres sont utiles pour résoudre divers problèmes. UN verticalement infinie
intégrale impropre contient au moins une asymptote verticale. Verticalement infinies intégrales impropres sont plus difficiles à reconnaître que ceux qui sont à l'horizontale infinie. Un intégrante de ce type contient au moins une asymptote verticale dans la zone que vous mesurez. (UN asymptote verticale est une valeur de X où F(X) Est égal à l'un ou -.) L'asymptote peut être une limite d'intégration ou il peut tomber quelque part entre les deux limites de l'intégration.Ne pas essayer de glisser par et évaluer intégrales impropres comme intégrales appropriées. Dans la plupart des cas, vous aurez la bonne réponse!
Il ya deux cas où vous aurez besoin pour gérer verticalement infinies intégrales impropres.
Manipulation limites asymptotiques de l'intégration
Supposons que vous voulez évaluer l'intégrale suivante:
À première vue, vous pourriez être tenté d'évaluer cela comme une bonne partie intégrante. Mais cette fonction a une asymptote au X = 0. La présence d'une asymptote à l'une des limites de l'intégration vous oblige à évaluer celui-ci comme une intégrale impropre.
Exprimez l'intégrale comme la limite d'une intégrale appropriée:
Notez que dans cette limite, c 0 approches de la droite - qui est, du côté positif - parce que cela est le sens de l'approche de l'intérieur des limites de l'intégration. (Voilà ce que le petit signe plus dans la limite des moyens.)
Évaluer l'intégrale:
Cette intégrale est facilement évaluée comme
utilisant la règle de l'alimentation:
Évaluer la limite:
À ce stade, la substitution directe vous fournit votre réponse finale:
= 2
Piecing intégrandes ensemble discontinus
Si une fonction est continue sur un intervalle, il est également intégrable sur cet intervalle. Certains intégrales qui sont verticalement infinie ont asymptotes pas sur les bords, mais quelque part au milieu. Le résultat est un intégrand discontinue - qui est, une fonction avec une discontinuité sur l'intervalle que vous essayez d'intégrer.
Intégrandes discontinues sont les plus délicates intégrales impropres à repérer - vous avez vraiment besoin de savoir comment le graphe de la fonction que vous intégrez se comporte.
Pour évaluer une intégrale impropre de ce type, le séparer à chaque asymptote en deux ou plusieurs intégrales. Ensuite, évaluer chacune des intégrales résultant comme une intégrale impropre.
Par exemple, supposons que vous voulez évaluer l'intégrale suivante:
Parce que le graphique de la sec X contient une asymptote au
le graphique de la sec2 X a une asymptote au même endroit. Par exemple, un graphique de l'intégrale impropre
dans représenté sur cette figure.
Pour évaluer cette intégrale, le casser en deux intégrales à la valeur de X où l'asymptote se trouve:
Maintenant évaluer la somme des deux intégrales impropres résultant.
Vous pouvez vous épargner beaucoup de travail en remarquant lorsque deux régions sont symétriques. Dans ce cas, l'asymptote au
divise la zone ombrée en deux régions symétriques. Ainsi, vous pouvez trouver un intégrante puis doubler pour obtenir votre réponse:
Maintenant évaluer cette intégrale:
Exprimez l'intégrale comme la limite d'une intégrale appropriée:
Dans ce cas, l'asymptote verticale est à la limite supérieure de l'intégration, de sorte c approches
à partir de la gauche - qui est, à l'intérieur de l'intervalle où vous mesurez la zone.
Évaluer l'intégrale:
Évaluer la limite:
Noter que
est indéfini, parce que la fonction tan X a une asymptote au
existe donc pas la limite (DNE). Par conséquent, l'intégrale que vous essayez d'évaluer aussi ne pas exister parce que la région qu'il représente est infini.
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