Comment trouver la zone entre deux courbes
Pour trouver la zone entre deux courbes, vous devez venir avec une expression pour un rectangle étroit qui se trouve sur l'une courbe et monte à l'autre.
de X = 0 et X = 1:
Pour obtenir la hauteur du rectangle représentant dans la figure, soustraire le y-coordonner de son fond à partir de la y-coordonnées de son sommet - qui est
Sa base est l'infinitésimal dx. Ainsi, parce que région égal à égal hauteur fois base,
Maintenant vous suffit d'ajouter les domaines de tous les rectangles de 0 à 1 en intégrant:
Maintenant, pour faire les choses un peu plus tordu, dans le problème suivant les courbes se croisent (voir la figure suivante). Lorsque cela se produit, vous devez diviser la superficie totale ombragée en régions séparées avant d'intégrer. Essaye celui-là:
de X = 0 et X = 2.
Déterminer où les courbes se croisent.
Ils se croisent à (1, 1) - ce une incroyable coïncidence! Donc, vous avez deux régions distinctes - l'une entre 0 et 1 et un autre de 1 à 2.
La figure la zone de la région sur la gauche.
Figure de la zone de la région sur la droite.
Ajouter les zones des deux régions pour obtenir la superficie totale.
# 8776- 3.11 unités carrées
Notez que la hauteur d'un rectangle représentant est toujours son haut moins son bas, indépendamment du fait que ces chiffres sont positifs ou négatifs. Par exemple, un rectangle qui va de 20 jusqu'à 30 présente une hauteur de 30 - 20, 10 ou un rectangle qui va de -3 jusqu'à 8 a une hauteur de 8 - (-3), ou 11 et un rectangle qui va de -15 à -10 ° C jusqu'à a une hauteur de -10 - (-15), ou 5.
Si vous pensez à cette méthode top-moins-bas pour déterminer la hauteur d'un rectangle, vous pouvez maintenant voir - en supposant que vous ne voir déjà - pourquoi l'intégrale définie d'une fonction compte-dessous de la zone X-axe que négative. Par exemple, considérons la figure suivante.
Quelle est la zone ombragée? Astuce: il est pas
Si vous voulez que la superficie totale de la région ombrée dans la figure, vous devez diviser la région ombrée dans deux pièces séparées comme vous l'avez fait dans le dernier problème.
Pour la première pièce, de 0 à pi, représentant un rectangle a une hauteur égale à la fonction elle-même, y = Sin (X), Parce que son sommet est sur la fonction et son fond est à zéro - et bien sûr, rien moins zéro est lui-même. Ainsi, la superficie de cette première pièce est donnée par l'intégrale définie ordinaire
le sommet d'un rectangle représentant est à zéro - rappelons que le X-axe est la ligne y = 0 - et son fond est sur y = Sin (X), De sorte que sa hauteur (donné, bien sûr, par le bas moins haut) est 0 - sin (X), Ou tout simplement -sin (X). Donc, pour obtenir la zone de cette deuxième pièce, vous avez compris l'intégrale définie de la négatif de la fonction,
Parce que ceci négatif intégrante vous donne l'ordinaire, positif zone de la pièce au-dessous de la X-axe, la positif intégrale définie
donne une négatif région. Voilà pourquoi si vous comprenez l'intégrale définie
sur toute la durée, la pièce en dessous de la X-axe est considéré comme une zone négative, et la réponse que vous la donne net la zone au-dessus de la X-axe moins la zone au-dessous de l'axe - au lieu de la zone d'ombre totale. Clair comme de la boue?
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