Comment trouver la valeur moyenne avec le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales
Vous pouvez trouver la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle fermé en utilisant le théorème de la moyenne pour les intégrales. La meilleure façon de comprendre le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales est avec un schéma - regardez la figure suivante.
Le graphique de gauche montre un rectangle dont la surface est clairement Moins que l'aire sous la courbe entre 2 et 5. Ce rectangle a une hauteur égale à la plus faible sur le point de la courbe dans l'intervalle de 2 à 5.
Le graphique du milieu montre un rectangle dont la hauteur est égale à la point de la courbe la plus élevée. Sa superficie est clairement plus grand que l'aire sous la courbe. A présent, vous pensez, “ est pas là un rectangle plus grand que la courte et plus courte que la hauteur d'un dont la superficie est le même que l'aire sous la courbe ”?; Bien sûr. Et ce rectangle traverse évidemment la courbe quelque part dans l'intervalle. Ce soi-disant rectangle de valeur moyenne, montré sur la droite, résume essentiellement le théorème Valeur moyenne pour les intégrales.
Il est vraiment juste du bon sens. Mais voici le charabia.
Le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales: Si F (X) Est une fonction continue sur l'intervalle fermé [a, b], Alors il existe un certain nombre c dans l'intervalle fermé de telle sorte que
Le théorème essentiellement garantit simplement l'existence de la valeur moyenne rectangle.
La superficie de la valeur moyenne rectangle - qui est la même que l'aire sous la courbe - equals longueur fois largeur, ou base fois hauteur, droit?
Cette hauteur est la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle en question.
Voici un exemple. Quelle est la vitesse moyenne d'une voiture entre t = 9 secondes et t = 16 secondes dont la vitesse dans pieds en soicond est donnée par la fonction,
Selon la définition de la valeur moyenne, cette vitesse moyenne est donnée par
Déterminer l'aire sous la courbe entre 9 et 16.
Cette zone, en passant, est la distance totale parcourue de 9 à 16 secondes. Voyez-vous pourquoi? Considérez le rectangle de la valeur moyenne pour ce problème. Sa hauteur est une vitesse (parce que les valeurs de la fonction, ou les hauteurs, sont des vitesses) et sa base est un laps de temps, de sorte que sa superficie est vitesse fois temps ce qui équivaut distance. Sinon, rappelons que le dérivé de la position est la vitesse. Donc, la primitive de vitesse - ce que vous venez de faire à cette étape - est la position, et le changement de position de 9 à 16 secondes donne la distance totale parcourue.
Divisez cette zone, la distance totale, par l'intervalle de temps du 9 au 16, à savoir 7.
# 8776- 105,7 pieds par seconde
Il est plus logique de penser à ces problèmes en termes de division: région égal à égal base fois hauteur, si la hauteur du rectangle est égale à la valeur moyenne de sa surface divisé par sa base.
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