Comment trouver la limite d'une fonction algébrique

Lorsque votre professeur pré-calcul vous demande de trouver la limite d'une fonction algébrique, vous avez quatre techniques au choix: brancher le X

la valeur, l'affacturage, la rationalisation du numérateur, et de trouver le plus petit dénominateur commun.

Le meilleur endroit pour commencer est la première technique. Vous ne pouvez utiliser cette technique si la fonction est continue au X valeur à laquelle vous prenez la limite. Si la fonction est indéfini à ce X valeur, vous devez passer à d'autres techniques pour simplifier votre fonction de sorte que vous pouvez brancher dans la valeur approchée pour X.

Trouver la limite en branchant le X valeur

La première technique pour résoudre algébriquement pour une limite est de brancher le numéro X est en approche de la fonction. Si vous obtenez une valeur indéfinie (0 dans le dénominateur), vous devez passer à une autre technique. Mais si votre fonction est continue à ce X valeur, vous obtiendrez une valeur, et vous êtes fait- que vous avez trouvé votre limite! Par exemple, avec cette méthode, vous pouvez trouver cette limite:

La limite est de 3, parce F(5) = 3 et que cette fonction est continue en X = 5.

Trouver la limite de l'affacturage

L'affacturage est la méthode pour essayer au moment de brancher échoue - surtout quand une partie de la fonction donnée est une expression polynomiale.

Dites que vous êtes invité à trouver cette limite:

Vous essayez d'abord de brancher 4 dans la fonction, et vous obtenez 0 dans le numérateur et le dénominateur, qui vous dit de passer à la prochaine technique. L'expression quadratique dans le numérateur crie pour vous d'essayer affacturage il. Notez que le numérateur des facteurs de fonction précédente à (X - 4) (X - 2). La X - 4 annule sur le dessus et le fond de la fraction. Cette étape vous laisse avec F(X) = X - 2. Vous pouvez brancher 4 dans cette fonction continue pour obtenir 2.

Si vous représentez graphiquement cette fonction, il ressemble à la ligne droite F(X) = X - 2, mais il a un trou lorsque X = 4 parce que la fonction d'origine est toujours là undefined (car il crée 0 dans le dénominateur). La figure illustre cela.

Si, après que vous avez intégré la haut et en bas de la fraction, un terme au dénominateur n'a pas annulé et la valeur que vous cherchez est indéfini, la limite de la fonction à cette valeur de X ne pas exister (que vous pouvez écrire que DNE).

Par exemple, cette fonction de facteurs comme le montre:

La (X - 7) sur le haut et le bas annuler. Donc, si vous êtes invité à trouver la limite de la fonction X approches 7, vous pourriez brancher 7 dans la version annulé et obtenir 11/8. Mais si vous essayez de trouver

la limite DNE, parce que vous obtiendrez 0 sur le dénominateur. Cette fonction, donc, a une limite nulle part, sauf que X approches -1.

Trouver la limite en rationalisant le numérateur

La troisième technique que vous devez savoir pour trouver des limites que vous impose algébrique de rationaliser le numérateur. Les fonctions qui nécessitent cette méthode ont une racine carrée dans le numérateur et un polynôme dans le dénominateur. Par exemple, dire que vous êtes invité à trouver la limite de cette fonction X 13 approches:

Branchement numéros échoue lorsque vous obtenez 0 dans le dénominateur de la fraction. Factoring échoue parce que l'équation n'a pas de polynôme de tenir compte. Dans cette situation, si vous multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du numérateur, le terme du dénominateur qui était un problème annule, et vous serez en mesure de trouver la limite:

1. Multiplier le haut et le bas de la fraction de conjugué.

   Le conjugué est du numérateur

   

   Multipliant à travers, vous obtenez cette configuration:

   

   Feuille pour obtenir le numérateur

   

   ce qui simplifie à X - 13 (les deux moyennes termes annuler et vous combinez les termes similaires de la feuille).

2. Annuler facteurs.

   Annulation vous donne cette expression:

   

   La (X - 13) annulent termes, vous laissant avec ce résultat:

   

3. Calculer les limites.

   Lorsque vous branchez le 13 dans la fonction, vous obtenez 1/6, qui est la limite.

Trouver la limite par trouver le plus petit dénominateur commun

Lorsque vous êtes donné une fonction rationnelle complexe, vous utilisez la quatrième et dernière technique limite enquête algébrique. La technique de colmatage échoue, parce que vous vous retrouvez avec un 0 dans l'un des dénominateurs. La fonction est pas factorisable, et vous avez pas de racines carrées de rationalisation. Par conséquent, vous savez à passer à la dernière technique. Avec cette méthode, vous combinez les fonctions en trouvant le dénominateur commun moins (LCD). Les termes annulent, à quel point vous pouvez trouver la limite.

Par exemple, suivez les étapes pour trouver la limite:

1. Trouver l'écran LCD des fractions sur le dessus.

   

2. Distribuer les numérateurs sur le dessus.

   

3. Ajouter ou soustraire les numérateurs et ensuite annuler termes.

   En soustrayant les numérateurs vous donne

   

   qui simplifie ensuite à

   

4. Utilisez les règles pour les fractions à simplifier encore.

   

5. Substituer la valeur limite dans cette fonction et de simplifier.

   Vous voulez trouver la limite que X approches 0, donc la limite ici est -1/36.