Comment tracer des sections coniques en forme paramétrique

Parfois, votre professeur de pré-calcul peut vous demander de représenter graphiquement coniques sous forme paramétrique. Forme paramétrique est une façon élégante de dire une forme dans laquelle vous pouvez traiter avec les coniques qui ne sont pas facilement exprimés comme la graphique d'une fonction y = F(X). Équations paramétriques sont généralement utilisés pour décrire le mouvement ou la vitesse d'un objet par rapport au temps. En utilisant des équations paramétriques vous permet d'évaluer à la fois X et y comme variables dépendantes, par opposition à X étant indépendant et y dépend de X.

Forme paramétrique définit à la fois la X- et le y-variables de sections coniques en termes d'une troisième variable arbitraire, appelé le paramètre, qui est généralement représentée par t. Vous pouvez trouver des valeurs à la fois pour X et y en branchant valeurs pour t dans les équations paramétriques. Comme les valeurs de t changement, tout comme les valeurs pour X et y, ce qui signifie que y est ne dépend plus X mais est dépendante de t.

Pourquoi passer à cette forme? Considérons, par exemple, un objet se déplaçant dans un plan au cours d'un intervalle de temps spécifique. Si un problème vous demande de décrire le chemin de l'objet et son emplacement à tout certain temps, vous avez besoin de trois variables:

• Temps t, qui est généralement le paramètre

• Les coordonnées (x, y) De l'objet à l'heure t

La X_t équation donne le mouvement horizontal d'un objet comme t Modifications- la y_t équation donne le mouvement vertical d'un objet au fil du temps.

Par exemple, un ensemble d'équations définit à la fois X et y pour le même paramètre - t - et définit le paramètre dans un intervalle de jeu:

Temps t existe seulement entre 1 et 5 secondes pour ce problème.

Si vous êtes invité à représenter graphiquement cette équation, vous pouvez le faire dans l'une des deux façons. La première méthode est la prise et teuf: Mettre en place un tableau et choisir t les valeurs de l'intervalle donné afin de comprendre ce que X et y devrait être, et ensuite représenter graphiquement ces points comme d'habitude. Le tableau suivant présente les résultats de ce processus. Note: t = 1 est inclus dans la carte, même si le paramètre est défini pas là. Vous avez besoin de voir ce que ça aurait été, parce que vous représentez graphiquement le point où t = 1 avec un cercle ouvert pour montrer ce qui se passe à la fonction arbitrairement proche de 1. Soyez sûr de faire ce point d'un cercle ouvert sur votre graphique.

L'autre façon de représenter graphiquement une courbe paramétrique est de résoudre une équation pour le paramètre puis remplacer cette équation dans l'autre équation. Vous devriez choisir l'équation simple à résoudre et commencer par là.

Tirer avec le même exemple, résoudre l'équation linéaire X = 2t - 1 pour t:

1. Remplacez les extrémités de la t dans l'intervalle X fonction pour savoir où les mises en chantier de graphes et les arrêts.

   Ceci est fait dans le tableau. Quand t = 1, X = 1, et lorsque t = 5, X = 9.

2. Résoudre l'équation simple.

   Pour l'équation choisie, vous obtenez

3. Branchez l'équation résolue dans l'autre équation.

   Pour cette étape, vous obtenez

   

4. Simplifier cette équation si nécessaire.

   Vous avez maintenant

   

   Parce que cette étape vous donne une équation en termes de X et y, vous pouvez représenter graphiquement les points sur le plan cartésien. Le seul problème est que vous ne tire pas tout le graphique, parce que vous avez à regarder un intervalle spécifique de t.

   
   Représentation graphique d'une courbe paramétrique.

Cette figure montre la courbe paramétrique à partir de cet exemple (pour les deux méthodes). Vous vous retrouvez avec une parabole, mais vous pouvez aussi écrire des équations paramétriques pour des ellipses, des cercles et des hyperboles.