Comment représenter graphiquement polynômes lorsque les racines sont les nombres imaginaires - un aperçu
En pré-calcul et en calcul, certaines fonctions polynômes avoir non-racines réelles, en plus de racines réelles (et quelques-unes des fonctions plus compliquées ont tous racines imaginaires). Lorsque vous devez trouver à la fois, commencer par trouver les racines réelles, en utilisant des techniques comme la division synthétique. Si vous êtes chanceux, vous vous retrouvez avec un polynôme quadratique déprimé pour résoudre ce est insoluble en utilisant le numéro vraies réponses. Pas peur! Vous avez juste à utiliser la formule quadratique, à travers lequel vous vous retrouverez avec un nombre négatif sous le signe de la racine carrée. Par conséquent, vous exprimez la réponse comme un nombre complexe.
Par exemple, le polynôme g(X) = X4 + X3 - 3X2 + 7X - 6 a non racines réelles. Suivez ces étapes de base pour trouver tous les racines de cet (ou tout) polynomiale:
Classer les racines réelles que positif et négatif en utilisant la règle de Descartes de signes.
Trois changements de signe dans le g(X) Révèle la fonction que vous pourriez avoir trois ou une racine réelle positive. Un changement de signe dans le g(-X) Fonction révèle que vous avez une racine réelle négative.
Trouver combien de racines sont peut-être imaginaire en utilisant le théorème fondamental de l'algèbre.
Le théorème révèle que, dans ce cas, jusqu'à quatre racines imaginaires existent. Combinant ce fait avec la règle de Descartes de signes vous donne plusieurs possibilités:
Un moyen de racine réelle positive et une racine réelle négative que deux racines ne sont pas réels.
Trois racines réelles positives et une vraie racine négative signifie que toutes les racines sont réelles.
Dressez la liste des racines rationnelles possibles, en utilisant le théorème de la racine rationnelle.
Les racines rationnelles possibles comprennent
Déterminer les racines rationnelles (le cas échéant), utilisant la division synthétique.
En utilisant les règles de la division synthétique, vous trouvez que X = 1 est une racine et que X = -3 Est une autre racine. Ces racines sont les seuls vrais.
Utilisez la formule quadratique pour résoudre le polynôme déprimé.
Ayant trouvé toutes les racines réelles du polynôme, diviser le polynôme original en x-1 et le polynôme résultant par x + 3 pour obtenir le polynôme déprimé X2 - X + 2. Parce que cette expression est quadratique, vous pouvez utiliser la formule quadratique à résoudre pour les deux dernières racines. Dans ce cas, vous obtenez
Graphiquement les résultats.
Représentation graphique du polynôme g(X) = X4 + X3 - 3X2 + 7X - 6.Le test de coefficient dominant révèle que le graphique indique dans les deux directions. Les intervalles sont les suivants:
La figure précédente montre le graphique de cette fonction.
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