Comment deviner et vérifier racines réelles - 3 - racines d'essai par des polynômes de séparation utilisant la division synthétique

Une fois que vous avez utilisé le théorème racine rationnelle à la liste tous les possibles racines rationnelles de tout polynôme, la prochaine étape est de tester les racines. Une façon consiste à utiliser division synthétique. Division synthétique est un raccourci pour la longue division de polynômes. Il est un cas particulier de la division lorsque le diviseur est un facteur linéaire de la forme X + c, où c est une constante.

Malheureusement, le raccourci ne fonctionne que si le diviseur (X + c) Est un premier degré binôme avec un premier coefficient de 1 (vous pouvez toujours faire 1 en divisant par le coefficient de tout premier plan en premier). Heureusement, vous pouvez toujours utiliser la division synthétique pour déterminer si une racine possible est en fait une racine.

Voici les étapes générales pour la division synthétique:

1. Assurez-vous que le polynôme est écrit dans l'ordre décroissant.

   Le terme avec le plus haut exposant vient en premier.

2. Notez les coefficients et la constante du polynôme de gauche à droite, en remplissant un zéro termes de forme de tout degré qui sont la racine lieu missing- vous testez l'extérieur du signe de division synthétique.

   Le signe de division ressemble les côtés gauche et en bas d'un rectangle. Laissez de la place sous les coefficients d'écrire une autre rangée de chiffres.

3. Déroulant le premier coefficient en dessous du signe de division.

4. Multipliez la racine vous testez par le numéro que vous venez tombédu et écrivez la réponse ci-dessous le coefficient suivant.

5. Ajouter le coefficient et produit de l'étape 4 et de mettre la réponse en dessous de la ligne.

6. Multipliez la racine vous testez par la réponse de l'étape 5 et mettre le produit en dessous du coefficient suivant.

7. 
   
   
   
   

   Continuer multipliant et en ajoutant jusqu'à ce que vous utilisez le dernier numéro à l'intérieur du signe de division synthétique.

   Si vous obtenez un reste, le nombre que vous avez testé est pas une racine.

   Si la réponse est 0, félicitations! Vous avez trouvé une racine. Les nombres au-dessous du panneau de division de synthèse sont les coefficients du polynôme quotient. Le degré de ce polynôme est un de moins que l'original (dividende), de sorte que l'exposant de la première X terme devrait être un de moins que ce que vous avez commencé avec.

Dites que vous tester les racines de l'équation, F(X) = 2X⁴ - 9X³ - 21X² + 88X + 48, et vous avez éliminé X = 2 en utilisant la division de long, de sorte que vous ne savez pas à commencer par là. Alors, vous décidez de faire la division synthétique, comme indiqué sur la figure pour X = 4.

Le 4 à l'extérieur dans la figure est la racine vous testez. Les numéros à l'intérieur sont les coefficients du polynôme. Voici le procédé de synthèse, étape par étape:

1. Le dessous de la ligne 2 gouttes juste en bas de la ligne ci-dessus.

2. Multipliez 4 avec 2 pour obtenir 8 et écrire que dans le cadre du prochain mandat, -9.

3. Ajouter -9 + 8 pour obtenir -1.

4. Multipliez 4 avec -1 pour obtenir -4, et écrire que sous l'-21.

5. Ajouter -21 + -4 pour obtenir -25.

6. Multipliez 4 avec -25 à -100 obtenir, et écrire ce que moins de 88.

7. Ajouter 88 à -100 pour obtenir -12.

8. Multipliez 4 avec -12 à -48 obtenir, et d'écrire que dans 48.

9. Ajouter 48 à -48 pour obtenir le 0.

Tout ce que vous faites est de multiplier et d'ajouter, ce qui explique pourquoi la division synthétique est le raccourci. Le dernier numéro, 0, est votre reste. Parce que vous obtenez un reste de 0, X = 4 est une racine.

Les autres chiffres sont les coefficients de quotient, dans l'ordre de la plus grande à la LES MOINS cependant, le quotient est toujours un degré inférieur au degré du polynôme d'origine. Ainsi, le quotient dans cet exemple est 2X³ - X² - 25X - 12.

Chaque fois une racine fonctionne, vous devriez toujours tester automatiquement à nouveau dans le quotient de réponse pour voir si elle est une racine double, utilisant le même procédé. UN double racine se produit quand un facteur comporte une multiplicité de deux. Un double racine est un exemple de la multiplicité. Vous testez X = 4 fois de plus, comme représenté sur la figure.

Whaddya savoir? Vous obtenez un reste de 0 à nouveau, de sorte X = 4 est une racine double. (En termes mathématiques, vous dites que X = 4 est une racine avec multiplicité des deux.) Vous devez vérifier à nouveau, même si, pour voir si elle a une multiplicité plus élevée. Lorsque vous divisez synthétiquement X = 4 une fois de plus, il ne fonctionne pas. La figure suivante illustre cet échec. Puisque le reste est différent de 0, X = 4 ne soit pas une racine de nouveau.

Toujours travailler hors du récent quotient lors de l'utilisation division synthétique. De cette façon, le degré obtient plus en plus bas jusqu'à ce que vous vous retrouvez avec une expression quadratique, ou jusqu'à ce que vous avez épuisé toutes les racines rationnelles possibles. Si une expression quadratique reste, vous pouvez résoudre l'équation quadratique en utilisant des techniques telles que l'affacturage, complétant le carré, ou la formule quadratique.

Avant que vous avez testé X = 4 pour la dernière fois, le polynôme (appelée polynôme déprimé) Était en baisse à un second degré: 2X² + 7X + 3. Si vous prenez en compte cette expression, vous obtenez (2X + 1)(X + 3). Cela vous donne deux autres racines de -1/2 et -3. Pour résumer le tout, vous avez trouvé X = 4 (deux multiplicité), X = -1/2, Et X = -3. Vous avez trouvé quatre racines complexes - deux d'entre eux sont des nombres réels négatifs, et deux d'entre eux sont des nombres réels positifs.

La théorème du reste dit que le reste vous obtenez lorsque vous diviser un polynôme par un binôme est le même que le résultat que vous obtenez de brancher le numéro dans le polynôme. Par exemple, lorsque vous avez utilisé la longue division de diviser par X - 2, vous testez pour voir si X = 2 est une racine. Vous pourriez avez utilisé division synthétique de le faire, parce que vous obtenez toujours un reste de 100. Et si vous branchez 2 dans F(X) = 2X⁴ - 9X³ - 21X² + 88X + 48, vous obtenez également 100.