Comment identifier le min et max sur paraboles verticales

Paraboles verticales donnent une information importante: Lorsque la parabole ouvre, le sommet est le point le plus bas sur le graphique - appelé le minimum, ou min. Lorsque la parabole ouvre en baisse, le sommet est le point sur le graphique plus haut - appelé maximum, ou max.

Seuls les paraboles verticales peuvent avoir des valeurs minimum ou maximum, parce paraboles horizontales ont pas de limite sur la façon haute ou comment bas ils peuvent aller. Trouver le maximum de la parabole peut vous dire la hauteur maximale d'une balle lancée en l'air, la superficie maximale d'un rectangle, la valeur minimale du bénéfice d'une société, et ainsi de suite.

Par exemple, dire qu'un problème vous demande de trouver deux nombres dont la somme est 10 et dont le produit est un maximum. Vous pouvez identifier deux équations différentes cachés dans cette phrase:

X + y = 10

xy = MAX

Si vous êtes comme la plupart des gens, vous ne voulez pas mélanger les variables lorsque vous ne devez pas, vous devriez donc résoudre une équation pour une variable à substituer dans l'autre. Ce processus est plus facile si vous résoudre l'équation qui ne comprend pas min ou max du tout. Alors si X + y = 10, vous pouvez dire y = 10 - X. Vous pouvez brancher cette valeur dans l'autre équation pour obtenir ce qui suit:

(10 - X)X = MAX




Si vous distribuez le X à l'extérieur, vous obtenez 10X - X2 = MAX. Ce résultat est une équation quadratique pour laquelle vous avez besoin de trouver le sommet en complétant le carré (qui met l'équation dans le formulaire que vous êtes habitué à voir qui identifie le sommet). Trouver le sommet en complétant le carré vous donne la valeur maximale. Pour ce faire, suivez ces étapes:

  1. Réorganiser les termes dans l'ordre décroissant.

    Cette étape vous donne -X2 + 10X = MAX.

  2. Factoriser le premier terme.

    Vous avez maintenant -1 (X2 - 10X) = MAX.

  3. Compléter le carré.

    Cette étape élargit l'équation à -1 (X2 - 10X + 25) = MAX - 25. Notez que -1 devant les parenthèses tourné le 25 en -25, ce qui est pourquoi vous devez ajouter -25 à la droite ainsi.

  4. Le facteur d'informations à l'intérieur des parenthèses.

    Cela vous donne -1 (X - 5)2 = MAX - 25.

  5. Déplacer la constante de l'autre côté de l'équation.

    Vous vous retrouvez avec -1 (X - 5)2 + 25 = MAX.

Le sommet de la parabole est (5, 25). Par conséquent, le nombre que vous cherchez (X) Est 5, et le produit maximal est 25. Vous pouvez brancher en 5 pour X obtenir y soit dans l'équation: 5 + y = 10, ou y = 5.

Représentation graphique d'une parabole pour trouver une valeur maximale d'un problème de mot.
Représentation graphique d'une parabole pour trouver une valeur maximale d'un problème de mot.

Cette figure montre le graphique de la fonction maximale pour illustrer que le sommet, dans ce cas, est le point maximum.


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