Comment intégrer à l'aide de fractions partielles lorsque le dénominateur ne contient que des facteurs linéaires

Vous pouvez utiliser la méthode des fractions partielles d'intégrer des fonctions rationnelles (Rappelons qu'une fonction rationnelle est un polynôme divisé par un autre.) L'idée de base derrière l'approche de fraction partielle est “ unadding ” une fraction:

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Avant d'utiliser la technique des fractions partielle, vous devez vérifier que votre intégrande est un “ une bonne ” fraction - qui est une où le degré de numérateur est inférieur au degré du dénominateur. Si la fonction à intégrer est “ impropre, ” aimer

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vous devez d'abord faire division d'un polynôme pour transformer la fraction impropre en une somme d'un polynôme (qui parfois juste être un nombre) et une fraction propre. Voici la répartition de cette fraction impropre (sans explication). Fondamentalement, il fonctionne exactement comme à long division régulière.

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Avec division régulière, si vous divisez 4 en 23, vous obtenez un quotient de 5 et un reste de 3, qui vous dit que

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Le résultat de la division polynomiale ci-dessus vous dit la même chose.

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La première intégrale est à seulement 2X. Vous voudriez faire la deuxième partie intégrante de la méthode des fractions partielles.

Voici comment la méthode fonctionne, mais nous allons tacle intégrante moins compliqué que celui immédiatement ci-dessus cela rendra la technique plus facile à suivre.

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  1. Le facteur dénominateur.

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  2. Brisez la fraction sur la droite en une somme de fractions, où chaque facteur du dénominateur à l'étape 1 devient le dénominateur d'une fraction séparée. Ensuite, mettre inconnues dans le numérateur de chaque fraction.

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  3. Multiplier les deux côtés de cette équation par le dénominateur du côté gauche.

    Ceci est l'algèbre I, de sorte que vous ne pouvez pas vouloir de plus pour voir les étapes. Droit?

    5 = UN(X + 3) + B(X - 2)

  4. Prenez les racines des facteurs linéaires et les brancher - un à la fois - en X dans l'équation de l'étape 3, et pour résoudre les inconnues.

    Si X = 2

    5 = UN(2 + 3) + B(2 - 2)

    5 = 5UN

    UN = 1

    Ou si X = -3

    5 = UN(-3 + 3) + B(-3 - 2)

    5 = -5B

    B = -1

  5. Branchez ces résultats dans le UN et B dans l'équation de l'étape 2.

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  6. Diviser l'intégrale d'origine dans les fractions partielles de l'étape 5 et vous êtes à la maison gratuitement.

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