Comment résoudre des systèmes non linéaires

Dans un système non linéaire,

Sommaire

au moins une équation a un graphique qui ne soit pas une ligne droite - qui est, au moins l'une des équations doit être non linéaire. Votre pré-calcul instructeur vous dire que vous pouvez toujours écrire une équation linéaire sous la forme AX + By = C (dans laquelle A, B, et C sont des nombres réels) - un système non linéaire est représenté par toute autre forme. Des exemples d'équations non linéaires comprennent, mais ne sont pas limités à, une section conique, polynôme de degré au moins deux, fonction rationnelle, exponentielle ou logarithmique.

La façon de résoudre un système non linéaire quand une équation dans le système est non linéaire

Si une équation dans un système est non linéaire, vous pouvez utiliser la substitution. Dans cette situation, vous pouvez résoudre pour une variable dans l'équation linéaire et substituer cette expression dans l'équation non linéaire, parce que la résolution d'une variable dans une équation linéaire est un morceau de gâteau! Et chaque fois que vous pouvez résoudre pour une variable facilement, vous pouvez remplacer cette expression dans l'autre équation à résoudre pour l'autre.

Par exemple, suivez ces étapes pour résoudre ce système:

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  1. Résoudre l'équation linéaire pour une variable.

    Dans cet exemple, l'équation est linéaire supérieur. Si vous résolvez pour X, vous obtenez X = 3 + 4y.

  2. Remplacer la valeur de la variable dans l'équation non linéaire.

    Lorsque vous branchez 3 + 4y dans la seconde équation pour X, vous obtenez (3 + 4y)y = 6.

  3. Résoudre l'équation non linéaire pour la variable.

    Lorsque vous distribuez le y, vous obtenez 4y2 + 3y = 6. Parce que cette équation est quadratique, vous devez obtenir 0 sur un côté, donc soustraire le 6 des deux côtés pour obtenir 4y2 + 3y - 6 = 0. Vous devez utiliser la formule quadratique pour résoudre cette équation pour y:

    image1.jpg



  4. Remplacez la solution (s) dans une ou l'autre équation à résoudre pour l'autre variable.

    Parce que vous avez trouvé deux solutions pour y, vous devez remplacer les deux pour obtenir deux paires de coordonnées différents. Voici ce qui arrive quand vous faites:

    image2.jpg

    Par conséquent, vous obtenez les solutions pour le système:

    image3.jpg

Ces solutions représentent l'intersection de la ligne X - 4y = 3 et la fonction rationnelle xy = 6.

La façon de résoudre un système d'équations non linéaires lorsque les deux systèmes sont non linéaires

Si les deux équations dans un système ne sont pas linéaires, eh bien, vous avez juste à obtenir plus de créativité pour trouver les solutions. Sauf une variable est portée à la même puissance dans les deux équations, l'élimination est hors de question. La résolution de l'une des variables dans l'équation est soit pas nécessairement facile, mais il peut être fait. Après vous résoudre pour une variable, branchez cette expression dans l'autre équation et à résoudre pour l'autre variable comme vous le faisiez avant. Contrairement aux systèmes linéaires, de nombreuses opérations peuvent être impliqués dans la simplification ou la résolution de ces équations. Rappelez-vous de garder votre ordre des opérations à l'esprit à chaque étape du chemin.

Lorsque les deux équations dans un système sont les sections coniques, vous ne trouverez jamais plus de quatre solutions (à moins que les deux équations décrivent la même section conique, dans ce cas, le système dispose d'un nombre infini de solutions - et est donc un système dépendant). Quatre est la limite parce que les sections coniques sont toutes les courbes très lisses sans angles vifs ou courbes folles, de sorte que deux sections coniques différentes ne peut pas couper plus de quatre fois.

Par exemple, supposons un problème vous demande de résoudre le système suivant:

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N'a pas ce problème juste faire votre exploration de la peau? Ne pas briser la lotion calamine pour l'instant, cependant. Suivez ces étapes pour trouver des solutions:

  1. Résoudre pour x2 ou y2 dans l'une des équations données.

    La seconde équation est attrayante parce que tout ce que vous avez à faire est d'ajouter 9 pour les deux parties pour obtenir y + 9 = X2.

  2. Remplacez la valeur de l'étape 1 dans l'autre équation.

    Vous avez maintenant y + 9 + y2 = 9 - une équation quadratique.

  3. Résoudre l'équation quadratique.

    Soustraire 9 des deux côtés pour obtenir y + y2 = 0.

    Rappelez-vous que vous n'êtes pas autorisé, jamais, de diviser par une variable.

    Vous devez tenir le plus grand commun diviseur (PGCD) au lieu d'obtenir y(1 + y) = 0. Utilisez la propriété du produit zéro à résoudre pour y = 0 et y = -1.

  4. Substituer la valeur (s) de l'étape 3 en soit équation à résoudre pour l'autre variable.

    Cet exemple utilise l'équation pour résoudre à l'étape 1. Lorsque y est 0, 9 = X2, ainsi

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    Quand y est -1, 8 = X2, ainsi

    image6.jpg

    Soyez sûr de garder une trace de la solution qui va avec quelle variable, parce que vous avez à exprimer ces solutions comme des points sur une paire de coordonnées. Vos réponses sont

    image7.jpg

    Cet ensemble de solutions représente les intersections du cercle et de la parabole donnée par les équations du système.


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