Comment utiliser différenciation pour calculer le volume maximal d'un boîtier
L'une des utilisations les plus pratiques de différenciation est de trouver la valeur maximale ou minimale d'une fonction dans le monde réel. Dans l'exemple suivant, vous calculez le volume maximal d'une boîte qui n'a pas de haut et qui doit être fabriqué à partir d'un morceau de 30 pouces par 30 pouces de carton par découpage et pliage comme indiqué dans la figure.
Quelles sont les dimensions de produire une boîte qui a le volume maximum? Mathématiques semble souvent abstraites et peu pratique, mais voici un problème pratique honnête à la bonté. Si un fabricant peut vendre de grosses boîtes pour plus d'argent, et il ou elle est faire un million de boîtes, vous croyez mieux qu'il ou elle voudra la réponse exacte à cette question:
Exprimez la chose que vous voulez maximisée, le volume, en fonction de l'inconnu, la hauteur de la boîte (qui est la même que la longueur de la coupe).
Déterminer le domaine de votre fonction.
La hauteur ne peut être négative ou supérieure à 15 pouces (le carton est à seulement 30 pouces de large, de sorte que la moitié de ce que est la hauteur maximale). Ainsi les valeurs, sensibles pour h sont égaux à 0 # 8804- h # 8804- 15.
Trouver les numéros de critiques V(h) Dans l'intervalle ouvert (0, 15) en définissant sa dérivée égale à zéro et la résolution. Et ne pas oublier de vérifier les numéros où le dérivé est indéfini.
Parce que 15 est pas dans l'intervalle ouvert (0, 15), il ne se qualifie pas comme un nombre critique. Et parce que ce dérivé est défini pour toutes les valeurs d'entrée, il n'y a pas des nombres critiques supplémentaires. Donc, 5 est le seul nombre critique.
Évaluer la fonction au nombre critique, 5, et aux extrémités de l'intervalle, 0 et 15, pour localiser le maximum de la fonction.
La extremum (creuser ce mot de fantaisie pour maximum ou minimum) Que vous cherchez ne se produit pas souvent à un point final, mais il peut - il ne faut pas manquer d'évaluer la fonction à deux extrémités de l'intervalle.
Vous avez votre réponse: une hauteur de 5 pouces produit de la boîte avec un volume maximum (2000 pouces cubes). Étant donné que la longueur et la largeur égal 30-2h, une hauteur de 5 pouces donne une longueur et une largeur de 30 à 2 # 183- 5, ou 20 pouces. Ainsi, les dimensions du bloc sont souhaitée 5 pouces par 20 pouces par 20 pouces.
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