L'intégration en utilisant des fractions partielles lorsque le dénominateur contient des facteurs quadratiques irréductibles

Vous pouvez utiliser la méthode des fractions partielles d'intégrer des fonctions rationnelles, y compris les fonctions ayant des dénominateurs communs qui contiennent irréductible facteurs quadratiques (qui est, les facteurs du second degré qui ne peut pas être divisé en facteurs linéaires).

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Si le discriminant est négatif, l'quadratique est irréductible.

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Vous pouvez utiliser la technique des fractions partielles pour les fonctions dont les dénominateurs peuvent être pris à des facteurs linéaires. Cependant, en utilisant cette technique est un peu différent quand il ya des facteurs quadratiques irréductibles.

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  1. Le facteur dénominateur.

    C'est déjà fait!

  2. Brisez la fraction en une somme de “ fractions partielles ”.

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  3. Multiplier les deux côtés de cette équation par la gauche; dénominateur latérale.

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  4. Prenez les racines des facteurs linéaires et les brancher - un à la fois - en X dans l'équation de l'étape 3, puis résoudre.

    • Si X = 0

      -4 = -4UN

      UN = 1




    • Si X = 1

      10 = 5B

      B = 2

    • Vous ne pouvez pas résoudre pour toutes les inconnues en branchant les racines des facteurs linéaires, si vous avez plus de travail à faire.

    • Branchez dans l'équation Étape 3 les valeurs connues de UN et B et tous les deux valeurs pour X non utilisé à l'étape 4 (faible nombre font l'arithmétique plus facile) pour obtenir un système de deux équations à C et .

      • UN = 1 et B = 2, de sorte que

        Si X = -1

        -18 = -10 - 10 - 2C + 2

        2 = -2C + 2

        1 = -C +

      • Si X = 2

        8 + 54 = 32 + 4C + 2

        14 = 4C + 2

        7 = 2C +

      • Résoudre le système: 1 = -C + et 7 = 2C + .

        Vous devriez obtenir C = 2 et = 3.

      • Diviser l'intégrale d'origine et de les intégrer.

        En utilisant les valeurs obtenues dans les étapes 4 et 6, UN = 1, B = 2, C = 2, et = 3, et l'équation de l'étape 2, vous pouvez diviser l'intégrale originale en trois morceaux:

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        Et avec l'algèbre de base, vous pouvez diviser la troisième intégrale ci-dessus en deux morceaux, résultant de la décomposition partielle finale de la fraction:

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        Les deux intégrales premières sont faciles, une étape intégrales journaux naturel.

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        Après le remplacement, celui-ci devient un autre journal naturelle intégrale.

        Le quatrième est fait avec la règle arctangente.

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      Vous vous souvenez de vos règles de journaux, non? La dernière étape a utilisé le journal d'une règle de produit à combiner les trois journaux en un seul.


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