Mise en place des fractions partielles quand vous avez des facteurs linéaires distinctes
Votre première étape de tout problème qui implique fractions partielles est de reconnaître ce cas, vous avez affaire à de sorte que vous pouvez résoudre le problème. Le cas le plus simple dans lequel les fractions partielles sont utiles est lorsque le dénominateur est le produit de distinct facteurs linéaires - à savoir, les facteurs linéaires qui sont non répétitif.
Par exemple, vous pouvez changer cela:
pour ça:
Gardez à l'esprit que pour chaque facteur linéaire distincte dans le dénominateur, vous devez ajouter une fraction partielle de la forme suivante:
Par exemple, supposons que vous souhaitez intégrer l'expression rationnelle suivante:
Le dénominateur est le produit de trois facteurs distincts linéaires - X, (X + 2), et (X - 5) - il est donc égale à la somme de trois fractions avec des dénominateurs ces facteurs que:
Le nombre de facteurs linéaires distinctes dans le dénominateur de l'expression originale détermine le nombre de fractions partielles. Dans cet exemple, la présence de trois éléments dans le dénominateur de l'expression originale donne trois fractions partielles.
Vous avez deux façons de trouver les inconnues dans une somme de fractions partielles. Le moyen facile et rapide est d'utiliser les racines de polynômes. Malheureusement, cette méthode ne trouve pas toujours toutes les inconnues dans un problème, mais il trouve souvent quelques-uns d'entre eux. La deuxième façon est de mettre en place un système d'équations.
Quand une somme de fractions partielles a facteurs linéaires distinctes, vous pouvez utiliser les racines de ces facteurs linéaires pour trouver les valeurs d'inconnues:
Pour trouver les valeurs des inconnues UN, B, et C, d'abord obtenir un dénominateur commun sur le côté droit de cette équation (le même dénominateur qui est sur le côté gauche):
Maintenant, multipliez deux côtés par ce dénominateur:
1 = UN(X + 2) (X - 5) + Bx(X - 5) + Cx(X + 2)
Pour trouver les valeurs de UN, B, et C, remplacer les racines des trois facteurs (0, -2, et 5):
Brancher ces valeurs dans l'équation originale vous donne:
Cette expression est équivalente à ce que vous avez commencé avec, mais il est beaucoup plus facile à intégrer. Pour ce faire, utilisez la règle Somme pour la diviser en trois intégrales, la règle multiple constant de se déplacer en dehors des coefficients fractionnaires chaque substitution intégrante, et variable de faire l'intégration. Voici la réponse de sorte que vous pouvez essayer:
Cette réponse utilise K plutôt que C pour représenter la constante d'intégration pour éviter toute confusion, parce que vous avez déjà utilisé C dans les fractions partielles précédentes.
Lorsque vous démarrez avec un facteur linéaire distincte, en utilisant des fractions partielles vous laisse avec une intégrale sous la forme suivante:
Intégrer l'aide de la substitution de variable u = hache + b de sorte que dx = a du et
Cette substitution donne l'intégrale suivante:
Voici quelques exemples:
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