Systèmes d'équations utilisant déterminants Résolution: règle de Cramer

Si votre professeur pré-calcul vous demande de résoudre un système d'équations, vous pouvez l'impressionner en utilisant la règle de Cramer au lieu d'utiliser une calculatrice graphique.

La règle de Cramer dit que si le déterminant d'une matrice de coefficient | A | ne sont pas 0, alors les solutions d'un système d'équations linéaires peuvent être trouvés comme suit:

Si la matrice décrivant le système d'équations ressemble à ceci:

alors

et ainsi de suite jusqu'à ce que vous avez résolu pour toutes les variables. En d'autres termes, les composants de la solution sont facilement obtenus en calculant les rapports appropriés des déterminants d'une famille de matrices. Notez que le dénominateur de ces composants est le déterminant de la matrice de coefficients.

Cette règle est utile lorsque les systèmes sont très petites ou lorsque vous pouvez utiliser une calculatrice graphique pour déterminer les déterminants car il vous aide à trouver les solutions avec un minimum de places pour se mélangent. Pour l'utiliser, vous trouvez tout simplement le déterminant de la matrice de coefficient.

Le déterminant de la 2-x-2 matrice comme celui-ci:

est défini comme étant annonce - BC. Le déterminant d'une matrice 3-x-3 est un peu plus compliqué. Si la matrice est

alors vous pouvez trouver le déterminant en suivant ces étapes:

1. Réécrire les deux premières colonnes, immédiatement après la troisième colonne.

2. Dessinez trois lignes diagonales de la partie supérieure gauche à la partie inférieure droite et trois lignes diagonales de la partie inférieure gauche à la partie supérieure droite, comme le montre cette figure.

   
   Comment trouver le déterminant d'une matrice 3-x-3.

3. Multipliez le bas les trois diagonales de gauche à droite, puis ajouter ces produits. Multipliez les trois autres de gauche à droite et d'ajouter ces produits. Puis soustraire la seconde somme de la première somme.

   Le déterminant de la matrice 3-x-3 est la suivante:

   

Pour trouver le facteur déterminant de cette matrice 3-x-3:

vous utilisez un processus connu sous le nom à l'aide des diagonales, que vous pouvez voir dans ce chiffre.

Cet exemple fournit un raccourci pour trouver le déterminant d'une matrice 3-x-3. Pour 4 x 4 et les grandes matrices, les méthodes utilisées ici ne sont pas valides.

Après avoir trouvé le déterminant de la matrice de coefficients (soit à la main ou avec un dispositif technologique), remplacer la première colonne de la matrice de coefficient dont la matrice de réponse de l'autre côté du signe égal et de trouver le facteur déterminant de cette nouvelle matrice. Remplacer ensuite la deuxième colonne de la matrice de coefficients de la matrice de réponse et trouver le déterminant de cette matrice. Continuez ce processus jusqu'à ce que vous avez remplacé chaque colonne et chaque nouveau trouvé déterminant. Les valeurs des variables respectives sont égaux à la cause déterminante de la nouvelle matrice (quand on remplacé la colonne correspondante) divisé par le déterminant de la matrice de coefficients.

Vous ne pouvez pas utiliser la règle de Cramer lorsque la matrice est pas carrée ou lorsque le déterminant de la matrice de coefficient est 0, parce que vous ne pouvez pas diviser par 0. règle de Cramer est le plus utile pour un 2 2-x ou supérieur Système de équations linéaires.

Pour résoudre un 3-3-x système d'équations telles que

en utilisant la règle de Cramer, vous définissez les variables comme suit: