Le quotient de différence: le pont entre l'algèbre (pente) et le calcul (dérivé)

Une des pierres angulaires du calcul est le quotient de différence. Le quotient de différence - le long des limites - vous permet de prendre la formule de la pente vieille régulière que vous avez utilisé pour calculer la pente de lignes dans la classe d'algèbre et de l'utiliser pour la tâche de calcul de calcul de la pente (ou dérivé) d'une courbe. Voici comment cela fonctionne.

Dans l'exemple suivant, vous voulez trouver la pente en un point de la parabole.

Pour calculer la pente, vous avez besoin de deux points à brancher sur cette formule. Pour une ligne, cela est facile. Vous choisissez deux points sur la ligne et branchez.

Vous pouvez voir la ligne tracée tangente à la courbe au (2, 4), et parce que la pente de la tangente est le même que la pente de la parabole au (2, 4), tout ce que vous avez besoin est la pente de la tangente ligne. Mais vous ne savez pas l'équation de la tangente, de sorte que vous ne pouvez pas obtenir le deuxième point - en plus (2, 4) - que vous avez besoin pour la formule de la pente.

Voici comment les inventeurs du calcul obtenu autour de ce barrage routier.

La figure ci-dessus est le graphique de y = X² avec une ligne de tangente et une sécante. Il montre à nouveau la ligne de tangente et une sécante coupant la parabole en (2, 4) et au (10, 100).

UN sécante est une ligne qui coupe une courbe en deux points. Ceci est un peu simpliste, mais il va faire.

La pente de cette ligne sécante est donnée par la formule de la pente:

Vous pouvez voir que ce sécante est un peu plus raide que la tangente, et donc la pente de la sécante, 12, est supérieure à la pente que vous cherchez.

Maintenant, ajoutez un point de plus à (6, 36) et en tirer une autre sécante utilisant ce point et (2, 4) à nouveau. Voir la figure ci-dessus.

Calculer la pente de cette deuxième sécantes:

Vous pouvez voir que la pente de cette sécante est une meilleure approximation de la pente de la tangente à la pente de la première sécantes était.

Maintenant, imaginez ce qui se passerait si vous attrapé le point (6, 36) et il a glissé en bas de la parabole vers (2, 4), en faisant glisser la sécante avec elle. Pouvez-vous voir que le point se rapproche et plus proche (2, 4), la ligne sécante se rapproche et plus proche de la tangente, et que la pente de cette sécante devient donc de plus en plus proche de la pente de la tangente?

Ainsi, vous pouvez obtenir la pente de la tangente si vous prenez le limite de la pente de cette sécante mobile.

Alors, voici la limite que vous avez besoin:

Regardez ce qui arrive à cette limite lorsque vous branchez trois points de plus sur la parabole qui sont plus proches et plus proche (2, 4):

Lorsque le point de glisse (2,01, 4,0401), la pente est de 4,01

Lorsque le point de glisse (2.001, 4,004001), la pente est 4.001

Ressembler sûrs la pente se dirige vers 4.

Comme avec tous les problèmes de fin de course, la variable à ce problème, la courir, approches mais obtient jamais réellement à zéro. Si il est arrivé à zéro - ce qui se passerait si vous glissé le point que vous attrapé le long de la parabole jusqu'à ce qu'il était en fait au-dessus de (2, 4) - vous auriez une pente de 0/0, ce qui est indéfini. Mais, bien sûr, que est précisément la pente que vous voulez - la pente de la ligne lorsque le point fait sur le dessus de la terre (2, 4). Là est la beauté du processus de limite.

Et la pente de la tangente est - vous l'aurez deviné - le dérivé.

La dérivé d'une fonction, F(X), À un certain nombre X = c, écrit F'(c), Est la pente de la tangente à F tracée à c.

Ok, voici le moyen le plus commun d'écrire le quotient de différence (vous pouvez courir à travers les autres, des moyens équivalents).

Jetez un oeil à la figure suivante, qui montre comment une limite produit la pente de la tangente en (2, 4).

Faire le calcul vous donne, enfin, la pente de la tangente en (2, 4):

Donc, la pente est 4. (En passant, il est une coïncidence de sens que la pente à (2, 4) se trouve être le même que le y-coordonnée du point.)