Le théorème fondamental du calcul

Le théorème fondamental du calcul est l'un des théorèmes les plus importants dans l'histoire des mathématiques. Il précise que, compte tenu d'une fonction de la zone UN_F qui balaie la zone sous F (t),

la vitesse à laquelle zone est balayée est égale à la hauteur de la fonction d'origine. Donc, parce que le taux est le dérivé, la dérivée de la fonction d'aire égale à la fonction d'origine:

Car

vous pouvez également écrire l'équation ci-dessus comme suit:

Sortez les sels volatils.

Maintenant, parce que le dérivé de UN_F (X) est F (X), UN_F (X) Est, par définition, un primitive de F (X). Découvrez comment cela fonctionne en regardant une fonction simple, F (t) = 10, et sa fonction de zone,

Selon le théorème fondamental,

Ainsi UN_F doit être une primitive de 10 en d'autres termes, UN_F est une fonction dont la dérivée est 10. Parce que toute fonction de la forme 10X + C, où C est un nombre, est un dérivé de 10, 10 de la primitive est 10X + C. Le nombre particulier C dépend de votre choix de s, au point où vous commencez à balayer la zone. Pour un choix particulier de s, la fonction de la zone sera la seule fonction (de toutes les fonctions dans la famille de courbes 10X + C) Qui traverse le X-axe à s. Se rendre compte C, définir la primitive égale à zéro, branchez la valeur de s en X, et à résoudre pour C.

Pour cette fonction avec une primitive de 10X + C, si vous commencez à balayer la zone à, disons,

ou tout simplement 10X. (Noter que C ne signifie pas nécessairement égale s. En fait, il le fait habituellement pas

Quand s = 0, C aussi souvent égal à 0, mais pas pour toutes les fonctions.)

La figure montre pourquoi UN_F (X) = 10X est la fonction de la zone correcte si vous commencez à balayer la zone à zéro.

Dans le graphique du haut de la figure, l'aire sous la courbe entre 0 et 3 est de 30, et qui est donnée par

Et vous pouvez voir que la zone 0-5 est de 50, ce qui concorde avec le fait que

Si à la place que vous commencez à balayer la zone à s = -2 Et définir une nouvelle fonction de la zone,

ainsi C est égal à 20 et B_F (X) Est donc 10X + 20. Cette fonction de la zone est de plus de 20 UN_F (X), Qui commence à s = 0, parce que si vous commencez à s = -2, Vous avez déjà balayé une superficie de 20 au moment où vous arrivez à zéro. La figure montre pourquoi B_F (3) est de plus de 20 UN_F (3).

Et si vous commencez à balayer la zone à

et la fonction de zone est

Cette fonction est 30 Moins que UN_F (X) Parce qu'avec C_F (X), Vous perdez le rectangle 3-en-10 entre 0 et 3 qui UN_F (X) A (voir le graphique du bas de la figure).

Une fonction de zone est une primitive. La zone balayée sous la ligne horizontale F (t) = 10 à partir un nombre s à X, est donnée par une primitive de 10, à savoir 10X + C, où la valeur de C dépend de l'endroit où vous commencez à balayer la zone.

Maintenant, jetez un oeil à quelques graphiques de UN_F (X), B_F (X), Et C_F (X).

(Notez que la figure précédente ne montre pas les graphiques de UN_F (X), B_F (X), Et C_F (X). Vous voyez trois graphiques de la fonction de la ligne horizontale, F (t) = 10 et vous voyez les zones balayées sous F (t) Par UN_F (X), B_F (X), Et C_F (X), Mais vous ne voyez pas réellement les graphiques de ces trois fonctions de la région.)

La deuxième figure montre les graphiques des équations de UN_F (X), B_F (X), Et C_F (X) Où vous avez travaillé avant: UN_F (X) = 10x, B_F (X) = 10X + 20, et C_F (X) = 10X - 30. (Comme vous pouvez le voir, tous les trois sont simples, y = mx + b lignes). Le y-valeurs de ces trois fonctions vous donnent les zones balayées sous F (t) = 10 que vous voyez dans le premier chiffre. On notera que les trois X-interceptions que vous voyez dans la seconde figure sont les trois X-valeurs de la première figure où balayant la zone commence.

Vous avez déjà travaillé que UN_F (3) = 30 et que UN_F (5) = 50. Vous pouvez voir ces zones de 30 et 50 dans le graphique du haut de la première figure. Dans la seconde figure, vous voyez ces résultats sur UN_F au niveau des points (3, 30) et (5, 50). Vous avez également vu dans le premier chiffre qui B_F (3) a été plus de 20 UN_F (3) - vous voyez ce résultat dans la seconde figure où (3, 50) sur B_F 20 est supérieure à celle (3, 30) sur UN_F . Enfin, vous avez vu dans le premier chiffre qui C_F (X) Est inférieur à 30 UN_F (X). La deuxième figure montre que d'une manière différente: à tout X-valeur, le C_F la ligne est de 30 unités en dessous du UN_F ligne.

A quelques observations. Vous savez déjà du théorème fondamental que

(et de même pour B_F (X) Et C_F (X)). Cela a été expliqué précédemment en termes de taux: Pour UN_F, B_F, et C_F, le taux de la zone balayée sous F (t) = 10 est égal à 10. La deuxième figure montre également que

(et de même pour B_F, et C_F), Mais ici, vous voyez le dérivé comme une pente. Les pentes, bien sûr, de toutes les trois lignes égalent 10. Enfin, notez que les trois lignes dans la deuxième figure diffèrent les uns des autres que par une translation verticale. Ces trois lignes (et l'infini de toutes les autres lignes traduites verticalement) sont tous membres de la classe des fonctions, 10X + C, la famille de primitives de F (X) = 10.