Travailler avec des rapports trigonométriques sur le plan de coordonnées

Pour mettre les angles sur le plan de coordonnées, essentiellement tout ce que vous faire est de regarder les rapports trigonométriques en termes de X et y plutôt que des valeurs opposées, adjacentes, et hypoténuse. Redéfinir ces ratios pour adapter le plan de coordonnées (parfois appelé le Point-in-the-plan définition) rend la visualisation de ceux-ci plus facile. Certains des angles, par exemple, sont plus grandes que 180 degrés, mais vous pouvez faire un triangle rectangle à l'aide d'un point et de la X-axe. Vous utilisez ensuite les nouveaux ratios de trouver côtés manquants de triangles rectangles et / ou des valeurs de la fonction trig d'angles.

Quand un point (X, y) Existe sur un plan de coordonnées, vous pouvez calculer toutes les fonctions trigonométriques de l'angle entre l'axe des x positif et le segment de ligne de l'origine au point (x, y) en suivant les étapes ci-dessous (utiliser la figure suivante):

1. Localisez le point sur le plan de coordonnées et le connecter à l'origine, en utilisant une ligne droite.

   Disons, par exemple, que vous êtes invité à évaluer tous les six fonctions trigonométriques de l'angle entre l'axe des x positif et le segment de ligne joignant l'origine au point dans le plan (-4, -6). Le segment de ligne se déplaçant de ce point à l'origine est votre hypoténuse et est maintenant appelé le rayon r (comme vous le voyez sur la figure).

2. Tracez une ligne perpendiculaire reliant le point donné à la X-axe, créant un triangle rectangle.

   Les jambes du triangle rectangle sont -4 et -6. Ne laissez pas les signes négatifs effrayer You- les longueurs des côtés sont toujours 4 et 6. Les signes négatifs vient de révéler l'emplacement de ce point sur le plan de coordonnées.

3. Trouver la longueur de l'hypoténuse r en utilisant la formule de la distance ou du théorème de Pythagore.

   La distance que vous voulez trouver est la longueur de r Étape 1. Utilisation de la formule de la distance entre (X, y) Et l'origine (0, 0), vous obtenez

   
   
   
   
   

   Rappelez-vous que cette équation implique le principal ou racine positive seulement, donc l'hypoténuse pour ces triangles Point-in-the-plan est toujours positif.

   Pour cet exemple, vous obtenez

   

   ce qui simplifie à

   

   Découvrez ce que le triangle ressemble dans la figure.

4. Évaluer les valeurs de la fonction trig, en utilisant leurs définitions alternatives.

   Avec les étiquettes de la figure, vous obtenez les formules suivantes:

   

   Remplacez les chiffres de l'exemple de la figure de repérer les valeurs trigonométriques:

   

5. Simplifier la première:

   

6. Puis rationaliser le dénominateur:

   

7. Simplifier la première:

   

8. Puis rationaliser:

   

9. Cette réponse simplifie à 3/2.

   

Notez que les règles de fonctions trigonométriques et leurs inverses sont encore valables. Par exemple, si vous savez



vous savez automatiquement



parce qu'ils sont inverses.

Lorsque le point vous êtes donné est un point sur l'un des axes, vous pouvez encore trouver toutes les valeurs de la fonction trigonométrique de l'angle formé avec le positif X-axe. Par exemple, si le point se trouve sur la X-axe, la branche adjacente à l'angle thêta et le rayon ont la même valeur absolue (parce que le cosinus peut être négatif mais le rayon ne le peut pas). Par conséquent, si le point est sur le positif X-axe, le cosinus de thêta est 1 et le sinus de thêta est 0- si le point est sur le négatif X-axe, le cosinus de thêta est -1 et le sinus de thêta sera toujours 0. De même, si le point se trouve sur la y-axe, le côté opposé à l'angle thêta et le rayon sont de même valeur absolue. Par conséquent, si le point est sur le positif y-axe, le sinus de thêta sera 1, et le cosinus sera 0- si le point est sur le négatif y-axe, le sinus de thêta sera -1 et le cosinus sera toujours 0.