Systèmes d'équations en algèbre résoudre

Dans la plupart des cas, une équation algébrique est résoluble que si une valeur est inconnue - qui est, lorsque l'équation a une seule variable. Dans de rares cas, vous pouvez résoudre une équation à deux variables ou plus, car une variable diminue. Par example:

À ce stade, vous pouvez soustraire 2xy des deux côtés de l'équation:

Dans la plupart des cas, cependant, une équation à deux variables ou plus a de multiples solutions. Pour le résoudre pour des valeurs spécifiques de deux variables, vous avez besoin d'une équation supplémentaire - qui est, d'une système de deux équations.

En substituant à résoudre un système d'équations

Quand un système d'équations est simple, la meilleure façon de le résoudre est par substitution. Par example:

X + 3 = y

3X + y = 7

La première équation vous indique que la valeur de y en terme de X est X + 3. Pour résoudre ce système, substitut X + 3 pour y dans la deuxième équation suivante:

Maintenant, cette équation n'a qu'une variable, de sorte que vous pouvez le résoudre:

Pour trouver la valeur de y, substituer pour une X Retour dans l'une des équations originales - choisir le plus facile des deux:

Par conséquent, dans ce système d'équations, X = 1 et y = 4. Voici un autre exemple à l'aide de trois variables:

X + y = z

X = 2 + y

3y = 2z

Dans ce système, la seconde équation vous indique que X est égale à 2 + y, donc substituer 2 + y pour X dans la première équation et simplifier:

Maintenant, vous savez que z égal à 2 + 2y, alors assurez cette substitution pour z dans la troisième équation, puis résoudre pour y:

Ainsi, y = -4. Remplacez cette valeur de retour dans la deuxième équation:

Ainsi, X = -2. Vous pouvez également substituer à -4 y dans la troisième équation pour trouver la valeur de z:

Par conséquent, dans ce système d'équations, X = -2, y = -4, Et z = -6.

Combinant les équations à résoudre un système d'équations

Remplacement fonctionne bien pour résoudre des systèmes d'équations lorsque les équations sont sur le côté simple. Mais quand équations deviennent plus compliquées, une meilleure façon de résoudre le système est en combinant les équations. Par example:

12X - 9y = 37

8X + 9y = 23

Ni équation dans ce système met en évidence la valeur d'une variable en termes d'une autre, ce qui rend difficile la substitution. Pour résoudre ce système plus facilement, ajouter les deux équations comme suit:

L'équation résultante, 20X = 60 est très simple à résoudre:

X = 3

Maintenant, substituer cette valeur pour X soit dans l'équation, ce qui semble le plus simple:

Par conséquent, dans ce système d'équations, X = 3 et

Dans certains cas, lorsque vous utilisez cette méthode pour résoudre un système d'équations, vous pouvez avoir besoin de multiplier un ou deux équations par une constante afin de rendre une goutte variables du système, comme dans l'exemple précédent. Par example:

2X + 3y = 33

5X + 4y = 58

Dans ce cas, ajoutant ou en soustrayant les deux équations ne feront pas une variable d'abandon. Donc, vous souhaitez cibler une variable que vous aimeriez voir tomber sur les deux équations quand ils sont soit ajoutés ou soustraits. Pour rendre le X la variable d'abandon, d'abord multiplier la première équation par 5, ce qui est le X coefficient dans le deuxième équation:

10X + 15y = 165

5X + 4y = 58

Ensuite, multiplier le deuxième équation par 2, qui est le X coefficient dans la première équation:

10X + 15y = 165

10X + 8y = 116

Remarquez maintenant que les deux équations partagent le terme 10X. Ainsi, vous pouvez soustraire la première équation moins le deuxième comme suit:

L'équation résultante, 7y = 49, résout facilement comme suit:

y = 7

Pour résoudre pour X, 7 pour substituer y dans celui des équations d'origine semble plus facile de travailler avec:

Par conséquent, dans ce système d'équations, X = 6 et y = 7.