Comment calculer un intervalle de confiance pour la moyenne d'une population avec écart-type inconnu et / ou de petite taille de l'échantillon

Vous pouvez calculer un intervalle de confiance (IC) de la moyenne, ou moyenne, d'une population, même si l'écart type est inconnu ou la taille de l'échantillon est petit. Quand une caractéristique statistique qui est mesuré (comme le revenu, le QI, le prix, la taille, la quantité ou le poids) est numérique, la plupart des gens veulent estimer la moyenne (moyenne) valeur de la population. Vous estimez que la moyenne de la population,

en utilisant une moyenne d'échantillon,

plus ou moins une marge d'erreur. Le résultat est appelé un intervalle de confiance pour la moyenne de la population,

Dans de nombreuses situations, vous ne savez pas

si vous estimez avec l'écart type d'échantillon, s- et / ou la taille de l'échantillon est faible (moins de 30), et vous ne pouvez pas être sûr que vos données proviennent d'une distribution normale. (Dans ce dernier cas, le théorème central limite ne peut pas être utilisé.) Dans les deux cas, vous ne pouvez pas utiliser un z * -valeur de la normale standard (Z-) La distribution en tant que votre valeur critique anymore- vous devez utiliser une valeur critique plus importante que cela, parce que de ne pas savoir ce que

est et / ou ayant moins de données.

La formule pour un intervalle de confiance pour une moyenne de population est dans ce cas

est la critique t *-La valeur de la t-distribution avec n - 1 degrés de liberté (où n est la taille de l'échantillon).

La t * -valeurs pour les niveaux de confiance communes sont trouvés en utilisant la dernière ligne de ce qui précède t-table.

La t-distribution a une forme similaire à la Z-distribution, sauf qu'il est plus plat et plus étalée. Pour les petites valeurs de n et un niveau de confiance spécifique, les valeurs critiques sur le t-la distribution sont plus grandes que sur le Z-la distribution, de sorte que lorsque vous utilisez les valeurs critiques de la t-la distribution, la marge d'erreur pour votre intervalle de confiance sera plus large. Comme les valeurs de n obtenir plus grand, le t *-les valeurs sont plus proches de z *-des valeurs.

Pour calculer un CI pour la population moyenne (moyenne), dans ces conditions, faire ce qui suit:

1. Déterminer le niveau de confiance et les degrés de liberté et ensuite trouver le lieu t *-valeur.

   Reportez-vous au tableau précédent t-.

2. Trouver la moyenne d'échantillon

   

   et l'écart type d'échantillon (s) Pour l'échantillon.

3. Multipliez t * fois s et diviser par la racine carrée de n.

   Ce calcul vous donne la marge d'erreur.

4. Prendre

   

   plus ou moins la marge d'erreur pour obtenir le CI.

   L'extrémité inférieure de l'IC est

   

   moins la marge d'erreur, tandis que l'extrémité supérieure de l'IC est

   

   plus la marge d'erreur.

Par exemple, supposons que vous travaillez pour le ministère des Ressources naturelles et que vous voulez estimer, avec 95% de confiance, la moyenne (moyenne) longueur de tous les alevins de doré jaune dans un étang poissons d'élevage. Vous prenez un échantillon aléatoire de 10 alevins et de déterminer que la durée moyenne est de 7,5 pouces et l'écart type d'échantillon est de 2,3 pouces.

1. Parce que vous voulez un intervalle de confiance de 95%, vous déterminez votre t *-valeur comme suit:

   La t *-La valeur vient d'un t-distribution avec 10 - 1 = 9 degrés de liberté. Ce t * -valeur est trouvée en examinant le t-table. Regardez dans la dernière rangée où se trouvent les niveaux de confiance, et de trouver le niveau de confiance de 95% - ce qui marque la colonne dont vous avez besoin. Ensuite, trouvez la ligne correspondant à df = 9. Intersection de la ligne et de la colonne, et vous trouverez t * = 2.262. C'est le t * -La valeur pour un intervalle de confiance de 95% pour la moyenne de taille de l'échantillon 10. (Noter cette dépasse la z* -valeur, ce qui serait de 1,96 pour le même intervalle de confiance).

2. Vous savez que la durée moyenne est de 7,5 pouces, l'écart type d'échantillon est de 2,3 pouces, et la taille de l'échantillon est de 10. Ce moyen

   

3. Multipliez 2.262 fois 2.3 divisé par la racine carrée de 10. La marge d'erreur est, par conséquent,

   

4. Votre intervalle de confiance de 95% pour la longueur moyenne de tous les alevins de doré jaune dans cette écloserie étang est

   

   (L'extrémité inférieure de l'intervalle est de 7,5 à 1,645 = 5,86 pouces-l'extrémité supérieure est de 7,5 + 1,645 = 9,15 pouces.)

Notez cet intervalle de confiance est plus large que ce serait pour une grande taille de l'échantillon. En plus d'avoir une plus grande valeur critique (t * contre z *), La taille réduite de l'échantillon accroît la marge d'erreur, parce n est dans son dénominateur. Avec une taille réduite de l'échantillon, vous ne devez pas autant d'informations à “ deviner ” à la moyenne de la population. Ainsi en gardant confiance de 95%, vous avez besoin d'un intervalle plus large que vous auriez besoin d'une plus grande taille de l'échantillon afin d'être sûr à 95% que la moyenne de la population tombe dans votre intervalle.

Après vous calculez un intervalle de confiance, assurez-vous que vous interprétez toujours dans les mots d'un non-statisticien comprendre. Autrement dit, de parler des résultats en termes de ce que la personne dans le problème est d'essayer de trouver - ce que les statisticiens appellent l'interprétation des résultats “ dans le contexte du problème ”.; Dans cet exemple, vous pouvez dire: “ Avec confiance de 95%, la durée moyenne d'alevins de doré jaune dans l'ensemble de cet étang poissons d'élevage se situe entre 5,86 et 9,15 pouces, basé sur les données de mes échantillons ”. (Assurez-vous toujours d'inclure les unités appropriées.)