Comment calculer la marge d'erreur pour un échantillon moyen

Lorsque vous une question de recherche demande de trouver une statistique moyenne de l'échantillon (ou moyenne), vous devez signaler une marge d'erreur, ou ME, pour la moyenne de l'échantillon. La formule générale de la marge d'erreur pour l'échantillon moyen (en supposant une certaine condition est remplie - voir ci-dessous) est

est l'écart type de population, n est la taille de l'échantillon, et z * est approprié z *-valeur pour votre niveau de confiance désiré (que vous pouvez trouver dans le tableau ci-dessous).

Notez que ces valeurs sont tirées de la (Z) distribution standard normale. La zone située entre chaque valeur de z * et le négatif de la valeur de z * est le pourcentage de confiance (environ). Par exemple, la zone comprise entre z * = 1,28 et z = -1,28 est d'environ 0,80. Ce tableau peut être étendu à d'autres pourcentages de confiance ainsi. Le graphique montre que les pourcentages de confiance les plus couramment utilisés.

Voici les étapes à suivre pour le calcul de la marge d'erreur pour un échantillon moyen:

1. Trouver l'écart type de population et de la taille de l'échantillon, n.

   L'écart type de population,

   
   
   
   
   

   sera donné dans le problème.

2. Diviser l'écart type de population par la racine carrée de la taille de l'échantillon.

   

   vous donne l'erreur-type.

3. Multipliez par le appropriée z *-valeur (voir le tableau ci-dessus).

   Par exemple, la z *-la valeur est de 1,96 si vous voulez être sûr à 95% environ.

La condition que vous devez rencontrer afin d'utiliser un z *-la valeur de la marge de formule d'erreur pour un échantillon moyen est soit: 1) La population d'origine a une distribution normale pour commencer, ou 2) La taille de l'échantillon est suffisamment grande pour la distribution normale peut être utilisé (qui est, la limite centrale Théorème applique). En général, la taille de l'échantillon, n, devrait être supérieure à environ 30 pour que le théorème central limite pour être applicable. Maintenant, si elle est 29, ne paniquez pas - 30 est pas un nombre magique, il est juste une règle générale. (L'écart type de population doit être connu de toute façon.)

Voici un exemple: Supposons que vous êtes le responsable d'une boutique de crème glacée, et vous êtes de formation de nouveaux employés à être en mesure de remplir les cônes de grande taille avec la bonne quantité de crème glacée (10 onces chacune). Vous voulez estimer le poids moyen des cônes qu'ils font sur une période d'une journée, y compris une marge d'erreur. Au lieu de peser chaque cône simple fait, vous demandez à chacun de vos nouveaux employés à repérer de manière aléatoire vérifier les poids d'un échantillon aléatoire des grands cônes qu'ils font et d'enregistrer ces poids sur un bloc-notes. Pour n = 50 cônes échantillonnage, la moyenne d'échantillon a été trouvé que 10,3 onces. Supposons que l'écart type de population est de 0,6 onces.

Quelle est la marge d'erreur? (Supposons que vous voulez un niveau de confiance de 95%.) Il est calculé de cette façon:

Donc, pour rendre compte de ces résultats, vous dites que sur la base de l'échantillon de 50 cônes, vous estimez que le poids moyen de l'ensemble des grands cônes faites par les nouveaux employés sur une période d'une journée est de 10,3 onces, avec une marge d'erreur de plus ou moins 0,17 onces. En d'autres termes, la gamme des valeurs probables pour le poids moyen de l'ensemble des grands cônes faites pour la journée est estimé (avec 95% de confiance) pour être entre 10,30 à 0,17 = 10,13 oz et 10,30 + 0,17 = 10,47 onces. Les nouveaux employés semblent être donnant sur trop de crème glacée (même si les clients ne sont probablement pas trop offensé).

Notez dans cet exemple, les unités sont onces, non des pourcentages! Lorsque vous travaillez avec des résultats et des rapports sur les données, rappelez-vous toujours ce que les unités sont. Aussi, assurez-vous que les statistiques sont présentées avec leurs bonnes unités de mesure, et si elles ne sont pas, demandez ce que les unités sont.

Dans les cas où n est trop petit (en général, moins de 30) pour le théorème central limite pour être utilisé, mais vous pensez toujours que les données proviennent d'une distribution normale, vous pouvez utiliser un t *-valeur au lieu d'un z* -value dans vos formules. UN t *-La valeur est celle qui provient d'une t-distribution avec n - 1 degrés de liberté. En fait, de nombreux statisticiens aller de l'avant et de l'utilisation t *-valeurs au lieu de z *-des valeurs constamment, parce que si la taille de l'échantillon est grande, t *-valeurs et z *-Les valeurs sont à peu près égale de toute façon. En outre, pour le cas où vous ne connaissez pas l'écart type de population,

vous pouvez le remplacer par s, l'Déviation- standard de l'échantillon à partir de là vous utilisez un t *-valeur au lieu d'un z *-valeur dans vos formules ainsi.