Comment convertir une distribution d'échantillonnage à une variable aléatoire normale standard utilisant le théorème central limite

Vous pouvez utiliser le théorème central limite pour convertir une distribution d'échantillonnage à une variable aléatoire normale standard. Basé sur le théorème central limite, si vous dessinez des échantillons à partir d'une population qui est supérieur ou égal à 30, la moyenne d'échantillon est une variable aléatoire distribuée normalement. Pour déterminer les probabilités pour la moyenne d'échantillon

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les tables normales standards vous oblige à convertir

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à une variable aléatoire normale standard.

La distribution normale standard est le cas particulier où la moyenne

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est égal à 0, et l'écart-type

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est égal à 1.

Pour toute variable aléatoire normalement distribué X avec une moyenne

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et un écart-type

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vous trouvez la variable aléatoire normale standard correspondant (Z) Avec l'équation suivante:

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Pour la distribution d'échantillonnage de

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l'équation correspondante est

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A titre d'exemple, disent qu'il ya 10.000 stocks commerciaux chaque jour sur une bourse régionale. Il est connu de l'expérience historique que les rendements de ces stocks ont une valeur moyenne de 10 pour cent par an, et un écart type de 20 pour cent par an.

Un investisseur choisit d'acheter une sélection aléatoire de 100 de ces stocks pour son portefeuille. Quelle est la probabilité que le taux moyen de rendement parmi ces 100 actions est supérieur à 8 pour cent?




Le portefeuille de l'investisseur peut être considéré comme un échantillon de valeurs choisies parmi la population des stocks de négociation à la bourse régionale. La première étape pour trouver cette probabilité est de calculer les moments de la distribution d'échantillonnage.

  • Calculer la moyenne:

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La moyenne de la distribution d'échantillonnage est égale à la moyenne de la population.

  • Déterminer l'erreur-type: Ce calcul est un peu plus délicat parce que l'erreur-type dépend de la taille de l'échantillon par rapport à la taille de la population. Dans ce cas, la taille de l'échantillon (n) Est de 100, tandis que la taille de la population (N) Est 10 000. Donc, vous devez d'abord calculer la taille de l'échantillon par rapport à la taille de la population, comme ceci:

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    Parce que 1 pour cent est inférieur à 5 pour cent, vous ne l'utilisez pas fini facteur de correction de la population pour calculer l'erreur-type. A noter que dans ce cas, la valeur du facteur de correction fini de population est:

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Parce que cette valeur est si proche de 1, en utilisant le facteur d'exhaustivité de la population dans ce cas aurait peu ou pas d'impact sur les probabilités résultant.

Et parce que le fini facteur de correction de la population ne soit pas nécessaire dans ce cas, l'erreur-type est calculé comme suit:

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Pour déterminer la probabilité que la moyenne de l'échantillon est supérieure à 8 pour cent, vous devez maintenant convertir la moyenne d'échantillon dans une variable aléatoire normale standard utilisant l'équation suivante:

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Pour calculer la probabilité que l'échantillon moyen est supérieur à 8 pour cent, on applique la formule précédente comme suit:

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Car

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ces valeurs sont substituées dans l'expression précédente de la manière suivante:

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Vous pouvez calculer cette probabilité en utilisant les propriétés de la distribution normale standard avec une table normale standard comme celui-ci.

Norme Tableau Normal - Valeurs négatives
Z0.000,010,020,03
-1.30,09680,09510,09340,0918
-1.20,11510,11310,11120,1093
-1.10,13570,13350,13140,1292
-100,15870,15620,15390,1515

Le tableau montre la probabilité qu'une variable aléatoire normale standard (désigné Z) est inférieur ou égal à une valeur spécifique. Par exemple, vous pouvez écrire la probabilité que

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(un écart-type en dessous de la moyenne) que

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Vous trouverez la probabilité de la table avec ces étapes:

  1. Localisez le premier chiffre avant et après la virgule (-1,0) dans le premier (Z) Colonne.

  2. Trouver le deuxième chiffre après la virgule (0.00) dans la seconde (0,00) colonne.

  3. Voir où la ligne et la colonne se croisent pour trouver la probabilité:

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Parce que vous êtes en train de chercher la probabilité que Z est supérieur ou égal à -1, une étape supplémentaire est requise.

En raison de la symétrie de la distribution normale standard, la probabilité que Z est supérieure ou égale à une valeur négative est égale à un moins la probabilité que Z est inférieure ou égale à la même valeur négative.

Par example,

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C'est parce que

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sont complémentaire événements. Ceci veut dire cela Z doit être soit supérieure ou égale à -2 ou inférieure ou égale à -2. Donc,

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Cela est vrai parce que la survenance de l'un de ces événements est certain, et la probabilité d'un événement est une.

Après la réécriture algébriquement cette équation, vous vous retrouvez avec le résultat suivant:

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Pour l'exemple de portefeuille,

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Le résultat montre qu'il ya un 84.13 pour cent de probabilité que le portefeuille de l'investisseur aura un moyen de retour supérieur à 8 pour cent.


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