Comment faire pour créer un intervalle de confiance pour la différence des deux moyens avec des écarts types inconnus et / ou petites tailles d'échantillon

Vous pouvez trouver un intervalle de confiance (IC) de la différence entre les moyens, ou moyennes, de deux échantillons de population, même si les écarts-types de ces populations sont inconnus et / ou les tailles des échantillons sont petites. L'objectif de nombreuses enquêtes et études statistiques est de comparer deux populations, comme les hommes par rapport aux femmes, les faibles contre les familles à revenu élevé, et les républicains contre les démocrates. Lorsque la caractéristique rapport est numérique (par exemple, la hauteur, le poids, ou le revenu), l'objet d'intérêt est le montant de la différence dans les moyens (moyennes) pour les deux populations.

Par exemple, vous pouvez comparer la différence de l'âge moyen des républicains contre les démocrates, ou la différence entre les revenus moyens des hommes par rapport aux femmes. Vous estimez que la différence entre les deux moyens de la population,

en prélevant un échantillon à partir de chaque population (par exemple, échantillon 1 et échantillon 2) et en utilisant la différence des deux moyennes d'échantillon

plus ou moins une marge d'erreur. Le résultat est un intervalle de confiance pour la différence des deux moyennes de population,

Il ya deux situations où vous ne pouvez pas utiliser z * lors du calcul de l'intervalle de confiance. La première est si vous savez pas

Dans ce cas, vous devez les évaluer avec les écarts-types de l'échantillon, s₁ et s₂. La deuxième situation est quand les tailles d'échantillons sont de petite taille (moins de 30). Dans ce cas, vous ne pouvez pas être sûr que vos données proviennent d'une répartition normale.

Dans l'une de ces situations, un intervalle de confiance pour la différence entre les deux moyennes de population est

où t * est la valeur critique de la t-distribution avec n₁ + n₂ - 2 degrés de liberté- n₁ et n₂ sont les deux tailles d'échantillon, et respectivement- s₁ et s₂ sont les deux écarts-types d'échantillon. Ce t *-valeur se trouve sur les points suivants t-table en coupant la ligne pour df = n₁ + n₂ - 2 avec la colonne pour le niveau de confiance dont vous avez besoin, comme indiqué par la recherche à la dernière ligne de la table.

Pour calculer un IC pour la différence entre deux populations, procédez comme suit:

1. Déterminer le niveau de confiance et de degrés de liberté (n₁ + n₂ - 2) et de trouver le lieu t *-valeur.

   Reportez-vous au-dessus table.

2. Identifier

   

   Identifier

   

3. Trouvez la différence,

   

   entre les moyens de l'échantillon.

4. Calculer l'intervalle de confiance à l'aide de l'équation,

   

Supposons que vous vouliez estimer avec confiance à 95% de la différence entre les longueurs moyen (moyenne) de l'épis de deux variétés de maïs sucré (leur permettant de grandir le même nombre de jours dans les mêmes conditions). Appelez les deux variétés de maïs-e-stats (groupe 1) et Stats-o-douce (groupe 2). Supposons que vous ne connaissez pas les écarts-types de la population, de sorte que vous utilisez les écarts-types de la place - suppose qu'ils se révèlent être s₁ = 0,40 et s₂ = 0,50 pouce, respectivement. Supposons que les tailles d'échantillon, n₁ et n₂, sont chacun à seulement 15.

1. Pour calculer la CI, vous devez d'abord trouver le t * -sur la valeur t-avec la distribution (15 + 15 - 2) = 28 degrés de liberté. Utilisation de ce qui précède t-table, vous regardez la ligne de 28 degrés de liberté et la colonne représentant un niveau de confiance de 95% (voir les étiquettes sur la dernière ligne de la table) - coupent eux et vous voyez t *₂₈ = 2.048.

2. Pour les deux groupes, vous avez pris échantillon aléatoire de 15 épis, avec la variété de maïs-e-stats moyenne de 8,5 pouces, et Stats-O-douce 7,5 pouces. Donc, l'information que vous avez est:

   

3. La différence entre les moyennes de l'échantillon

   

   est 8.5 à 7.5 = 1 pouce. Cela signifie que la moyenne pour le maïs-e-stats moins la moyenne pour les Stats-o-douce est positif, ce qui rend le maïs-e-stats la plus grande des deux variétés, en termes de cet échantillon. Est-ce que la différence assez de généraliser à l'ensemble de la population, si? Voilà ce que cet intervalle de confiance va vous aider à décider.

4. Utiliser le reste de l'information que vous êtes donné, trouver l'intervalle de confiance pour la différence de longueur de l'épi moyenne pour les deux marques:

   

   Votre intervalle de confiance de 95% pour la différence entre les longueurs moyennes pour ces deux variétés de maïs sucré est de 1 pouce, plus ou moins 0.9273 pouces. (L'extrémité inférieure de l'intervalle est de 1 à 0,9273 = 0. 0727 pouces-l'extrémité supérieure est 1 + 0. 9273 = 1. 9273 pouces.) Notez toutes les valeurs dans cet intervalle sont positifs. Cela signifie que le maïs-e-stats est estimé à plus de base de vos données Statistiques-o-doux,.

   La tentation est de dire, “ Eh bien, je savais maïs-e-stats maïs était plus parce que sa moyenne de l'échantillon est de 8,5 pouces et Stat-o-douce était seulement de 7,5 pouces en moyenne. Pourquoi dois-je encore besoin d'un intervalle de confiance ”?; Tous ces deux chiffres vous disent quelque chose sur ces 30 épis échantillonnés. Vous devez également tenir compte de la variation en utilisant la marge d'erreur pour être en mesure de dire quelque chose à propos de l'ensemble des populations de maïs.