Comment trouver probabilités binôme en utilisant une formule statistique

Après avoir identifié qu'une variable aléatoire X a une distribution binomiale, vous aurez probablement envie de trouver des probabilités pour X. Les bonnes nouvelles sont que vous ne devez pas les trouver à partir de rayures vous aurez à utiliser des formules statistiques établies pour trouver probabilités binomiales, en utilisant les valeurs de n et p unique à chaque problème.

Probabilités pour une variable aléatoire binomiale X peuvent être trouvées en utilisant la formule suivante pour p(X):

où

• n est le nombre fixe d'essais.

• X est le nombre spécifié de succès.

• n - X est le nombre d'échecs.

• p est la probabilité de succès dans un procès donné.

• 1 - p est la probabilité de défaillance sur un essai donné. (Note: Certains manuels utilisent la lettre q pour désigner la probabilité de défaillance plutôt que 1 - p.)

Ces probabilités sont valables pour toute valeur de X entre 0 (le plus faible nombre de succès possibles n essais) et n (plus grand nombre de succès possibles).

Le nombre de façons de réorganiser X succès parmi n essais est appelé "n choisir X,"Et la notation est

Il est important de noter que cette expression mathématique est pas un fractionnement il est raccourci mathématiques pour représenter le nombre de façons de le faire ces types de réarrangements.

En général, pour le calcul du "n choisir X,"Vous utilisez la formule suivante:

La notation n! supports pour n-factorielle, le nombre de moyens pour réorganiser n articles. Calculer n!, vous multipliez n(n - 1)(n - 2). . . (2) (1). Par exemple, 5! est 5 (4) (3) (2) (1) = 120- 2! 2 est (1) = 2 et 1! est 1. Par convention, 0! est égal à 1.

Supposons que vous avez à traverser trois feux de circulation sur votre façon de travailler. Laisser X le nombre de feux rouges vous frappez sur les trois. Combien de façons pouvez-vous frapper deux feux rouges sur votre façon de travailler? (Pour cet exemple, vous pouvez supposer que une lumière jaune équivaut à un feu rouge.) Eh bien, vous pourriez frapper un vert d'abord, puis les deux autres rouges ou vous pouvez frapper le vert au milieu et ont les rouges pour les les premier et troisième lumières, ou vous pourraient frapper abord en rouge, puis un autre rouge, puis vert. Laisser G = vert et R = rouge, vous pouvez écrire ces trois possibilités comme: GRR, RGR, RRG. Ainsi, vous pouvez frapper deux feux rouges sur votre façon de travailler en trois façons, non?

Vérifiez le calcul. Dans cet exemple, un «procès» est un éclairage de la circulation et un «succès» est une lumière rouge. (Oui, cela semble bizarre, mais un succès est ce que vous êtes intéressé par comptage, bon ou mauvais.) Donc, vous avez n = 3 feux de trafic total, et vous êtes intéressé à la situation où vous obtenez X = 2 rouges. En utilisant la notation de fantaisie,

signifie «3 Choisissez 2" et représente le nombre de façons de réorganiser 2 succès en 3 essais.

Pour calculer "3 choisir 2," vous faites ce qui suit:

Cela confirme les trois possibilités énumérées pour obtenir deux feux rouges.

Supposons maintenant que les feux fonctionner indépendamment les uns des autres et chacun a une chance d'être rouge de 30%. Supposons que vous voulez trouver la distribution de probabilité pour X. (Autrement dit, une liste de toutes les valeurs possibles de X - 0,1,2,3 - et leurs probabilités).

Avant de vous plonger dans les calculs, vous devez d'abord vérifier pour voir si vous avez une situation binomiale ici. Tu as n = 3 essais (feux de circulation) - vérifier. Chaque essai est le succès (lumière rouge) ou de panne (éclairage jaune ou vert en d'autres termes, la lumière "non rouge") - vérifier. Les lumières fonctionner indépendamment, il faut donc les essais indépendants prises en charge, et parce que chaque lumière est rouge 30% du temps, vous savez p = 0,30 pour chaque lumière. Ainsi X = Nombre de feux rouges a une distribution binomiale. Pour remplir les gritties Nitty pour les formules, 1 - p = Probabilité d'une lumière non-rouge = 1 à 0,30 = 0.70- et le nombre de feux rouges est non-3 - X.

En utilisant la formule de p(X), Vous obtenez les probabilités pour X = 0, 1, 2, et 3 feux rouges:

La distribution de probabilité finale de X est représentée dans le tableau suivant. Notez tous ces probabilités somme à 1 parce que chaque valeur possible de X est répertorié et pris en compte.

Distribution de probabilité pour X = Nombre de Red Traffic Lights (n = 3, p = 0,30):