10 façons de calculer les fonctions trigonométriques sans fonctions trig

Une fonction trigonométrique a des valeurs d'entrée qui sont les angles et les valeurs de sortie qui sont des nombres réels. Vous avez deux choix lors de la saisie des valeurs dans une fonction trig: Vous pouvez utiliser degrés ou en radians. La plupart des gens sont plus à l'aise avec les mesures de degré, mais les mesures radian avoir un énorme avantage: Ils sont des nombres réels - ils ont des valeurs décimales et sont des multiples de # 960-.

Ce qui suit sont des formules de calcul de fonctions trigonométriques en utilisant la somme des termes d'une série. Les plus de termes que vous utilisez, plus la précision de votre réponse est de plus de décimales. Certaines de ces séries ont formules reconnaissables pour le terme général. D'autres ont simplement un modèle que vous pouvez suivre.

Sinus

Le sinus de l'angle X (écrit en mesure radian) est égale à la somme des termes suivants:

La tendance semble être d'utiliser factorielles impaires dans le dénominateur, le même nombre impair que la puissance de X, et d'alterner les signes. Le terme général pour cette série est

Cosinus

Le cosinus de l'angle X (écrit en radians) est égal à les termes suivants:

Ce modèle utilise factorielles paires dans les dénominateurs, le même nombre, même en tant que puissance, et alterne signes. Vous pouvez vous demander à propos de ce premier terme. Depuis 0! est égal à 1 (par définition) et X⁰ est égal à 1, vous avez 1 divisé par 1, qui est assez proche de 1. Le terme général pour cette série est:

Tangente

La tangente de l'angle X (écrit en radians) est égal à les termes suivants:

Le modèle ici ne semble pas du tout évident. En fait, il est assez compliqué. Au lieu de vous montrer le terme général, vous pouvez réellement appliquer la formule pour trouver la tangente de 45 degrés, ou

Ceci est un choix intelligent de votre part, parce que vous savez déjà que la tangente de 45 degrés est égal à 1.

Utilisation de la formule,

Ce calcul sera uniquement pour les cinq premiers termes. Les plus de termes que vous utilisez, la plus proche de 1 que vous obtenez. Les prochaines étapes impliquent décimales et beaucoup de calcul calculatrice, mais portent avec elle:

Sans entrer dans les détails sanglants, vous pouvez voir les valeurs décimales individuels des termes:

L'ajout de ces cinq termes ensemble, vous obtenez 1,000916. Oui, ce est supérieur à 1, mais arrondissent sur un couple de ces calculs pour les tous les six décimales longues faire. Transportant plus de décimales, il est plus précis, aussi.

Tangente inverse

La tangente inverse donné un nombre réel X vous donne la mesure de l'angle de l'entrée. La tangente inverse est égal à les termes suivants:

Vous trouverez deux règles différentes ici. Essentiellement, la place de toute fraction propre - un nombre compris entre -1 et 1 - a une place qui est inférieur à 1.

Sinus inverse

Le sinus inverse donné un nombre réel X entre -1 et 1 (y compris ces deux nombres) vous donne la mesure de l'angle de l'entrée. Le sinus inverse est trouvé avec des termes formés à partir de la formule suivante:

Voici les quelques premiers termes, créés à partir de la formule.

Bien. C'est assez. Vous obtenez la dérive.

Angle de 45 degrés

Un angle de 45 degrés, mieux connu comme

a une série infinie qui donne la valeur de l'angle à beaucoup, beaucoup de décimales lieux - autant que vous voulez calculer.

La formule pour tous les termes est

Notez que les pouvoirs de -1 Rendre les termes alternent dans signe.

Pi au carré divisé par 6

Il ya beaucoup de ces goodies en utilisant les pouvoirs de # 960- dans les fractions qui forment série infinie. En voici une:

Vous seriez probablement préférez utiliser une calculatrice graphique pour calculer cette mesure d'angle, mais quel plaisir est-ce?

Logarithme naturel de sine

Les logarithmes naturels sont largement utilisés dans les applications des sciences et des affaires. Trouver le logarithme naturel du sinus de l'angle X (donné en radians) peut être accompli par ce qui suit:

Vous voyez que le seul terme positif dans cette série est le premier terme.

Sine que la puissance de e

Dans la section précédente, vous avez vu comment trouver le logarithme naturel de la fonction sinus. L'inverse de la logarithme naturel est une puissance de e. Donc, tourner les tables, voici la série pour e soulevée au sinus de l'angle X (en radians).

Comme vous pouvez le voir, les signes sont partout. Et les factorielles sautent.

Création 1 de sinus

Ce dernier devait être un goodie. La plupart des gens pensent que le numéro 1 est tout simplement parfait. Il est facile de calculer avec une partie et de nombreuses structures mathématiques. Mais si vous vous ennuyez avec les voies normales de calcul 1, voici la réponse à votre besoin de stimulation:

Il ya une stipulation que 0 lt; X lt; k.