Comment résoudre une équation de la trigonométrie par l'affacturage quadratiques

Équations du second degré sont agréables à travailler car, quand ils ne tiennent pas compte, vous pouvez les résoudre en utilisant la formule quadratique. Les types d'équations trigonométriques du second degré que vous pouvez facteurs sont ceux qui, comme tan² X = Tan X, 4cos² X - 3 = 0, 2sin² X + 5sin X - 3 = 0, et le SCC² X + csc X - 2 = 0. Notez que ils ont tous la fonction de la trigonométrie révélateur élevé au second degré. Les exemples suivants montrent comment les gérer.

Les deux premiers exemples ont seulement deux termes. On a deux modalités variables, et l'autre a un seul mandat variable. Dans le premier exemple, vous mettez les deux termes sur la gauche et ensuite factoriser le terme variable ou trig.

Résolvez tan² X = Tan X pour les valeurs de X tel que 0 X lt; 2.

1. Déplacez le terme de droite vers la gauche en le soustrayant des deux côtés.

   bronzage² X - bronzage X = 0

   Ne divisez pas par le biais de Tan X. Vous perdrez des solutions.

2. Factoriser tan X.

   bronzage X (tan X - 1) = 0

3. Réglez chacun des deux facteurs égaux à 0.

   bronzage X = 0 ou tan X - 1 = 0

4. Résoudre pour les valeurs de X qui satisfont les deux équations.

   Si tan X = 0, alors X = Tan^-1(0) = 0,.

   

Dans l'exemple suivant, le binôme ne tient pas compte facilement que la différence de deux carrés, parce que le 3 est pas un carré parfait, et vous devez utiliser un radical dans la factorisation. Une façon agréable et efficace pour résoudre cette équation est de déplacer le 3 à la droite et prendre la racine carrée de chaque côté.

Résoudre pour toutes les solutions possibles de 4cos² X - 3 = 0 en degrés.

1. Déplacez le nombre à droite en ajoutant 3 de chaque côté.

   4cos² X = 3

2. Diviser chaque côté par 4, puis prendre la racine carrée de chaque côté à résoudre pour cos X.

   

3. Résoudre les deux équations pour les valeurs de X.

   

   Quand vous considérez tous les multiples de 360 ​​degrés ajoutés aux quatre angles de base, vous trouverez que cette équation a beaucoup, beaucoup de solutions.

Les deux exemples suivants impliquent l'utilisation non-FEUILLE - une technique pour déterminer le produit de deux binômes qui vous donne un trinôme du second degré particulier. Parfois, lorsque le motif dans le trinôme est obscurci, vous voudrez peut-être d'abord substituer une autre variable pour la fonction trigonométrique pour aider à comprendre comment vous tenez compte il. Dans cet exemple, vous allez faire pour résoudre 2sin² X + 5sin X - 3 = 0 pour toutes les valeurs de X entre 0 et 360 degrés.

1. Remplacer chaque péché X avec y.

   2y² + 5y - 3 = 0

2. Facteur le trinôme comme le produit de deux binômes.

   (2y - 1)(y + 3) = 0

3. Remplacer chaque y avec le péché X.

   (2sin X - 1) (sin X + 3) = 0

4. Réglez chaque facteur égal à 0.

   2sin X - 1 = 0 ou le péché X + 3 = 0

5. Résoudre les deux équations pour les valeurs de X que les satisfaire.

   

   Si le péché X + 3 = 0, le péché X = -3, Puis X = Sin^-1(-3). Ce résultat est absurde, parce que la fonction sinus seulement produit des valeurs entre -1 et 1 - si ce facteur ne produit pas de solutions.

   Les deux seules solutions sont 30 et 150 degrés.

L'exemple suivant facteurs assez facilement, mais elle implique une fonction réciproque. Résolvez SCC² X + csc X - 2 = 0 pour tous les angles compris entre 0 et 2# 112- radians.

1. Le facteur trinôme du second degré dans le produit de deux binômes.

   (csc X + 2) (csc X - 1) = 0

2. Réglez chaque facteur égal à 0.

   csc X + 2 = 0 ou csc X - 1 = 0

3. Résoudre les deux équations pour les valeurs de X que les satisfaire.

   

   Une autre façon de faire face à ces deux équations binômes est de les changer en utilisant l'identité réciproque et écrire l'inverse du nombre. Pour la première équation, vous souhaitez changer de cosecant au sinus:

   

   Faites de même pour la deuxième équation: csc X - 1 = 0, csc X = 1, le péché X = 1. Vous souhaitez ensuite résoudre les équations inverses.