Comment analyser position, la vitesse et l'accélération de la différenciation

Chaque fois que vous obtenez dans votre voiture, vous assisté à la différenciation de première main. Votre vitesse est la première dérivée de votre position. Et lorsque vous appuyez sur l'accélérateur ou le frein - accélération ou de décélération - vous rencontrez un dérivée seconde.

Si une fonction donne la position de quelque chose comme une fonction du temps, la dérivée première donne sa vitesse, et la dérivée seconde donne son accélération. Donc, vous différenciez position pour obtenir la vitesse, et vous différencier vitesse pour obtenir l'accélération.

Voici un exemple. Un yo-yo se déplace vers le haut et vers le bas. Sa hauteur au-dessus du sol, en fonction du temps est donnée par la fonction

où t est en secondes et H(t) Est en pouces. À t = 0, il est de 30 pouces au-dessus du sol, et après 4 secondes, il est à la hauteur de 18 pouces.

Vitesse, V(t) Est la dérivée de la position (hauteur, en ce problème), et de l'accélération, UN(t), Est dérivée de la vitesse. Ainsi

Vitesse contre vitesse. Vos amis ne se plaindront pas - ou même remarquer - si vous utilisez les mots «vitesse» et «vitesse» de façon interchangeable, mais votre mathématicien convivial sera plaindre. Voici la différence.

Pour la fonction de vitesse dans la figure ci-dessus, ascendant un mouvement est définie comme une positif vitesse et vers le bas vitesse est défini comme un négatif vitesse - ce qui est la vitesse de façon standard s traitée dans la plupart des calcul et de physique des problèmes. (Si la motion est horizontale, aller à droite est une vitesse positive et aller à gauche est une vitesse négative.)

Vitesse, d'autre part, est toujours positive (ou nulle). Si une voiture passe à 50 mph, Par exemple, vous dites sa vitesse est de 50, et de vous dire positif 50, indépendamment de savoir si ça va vers la droite ou la gauche. Pour la vitesse, l'matters- direction pour la vitesse, il ne le fait pas. Dans la vie quotidienne, la vitesse est une idée simple que la vitesse, car il est d'accord avec le sens commun. Mais dans le calcul, la vitesse est en fait l'idée plus délicat car il ne correspond pas bien dans le schéma à trois fonctions le montre la figure ci-dessus.

Vous devez garder la distinction vitesse vitesse à l'esprit lorsque l'on analyse la vitesse et l'accélération. Par exemple, si un objet est à la baisse (ou vers la gauche) plus en plus vite, sa vitesse augmente, mais sa vitesse est décroissante parce que sa vitesse est de plus un plus grand négatif (et plus grands sont plus petits nombres négatifs). Cela semble bizarre, mais qui est la façon dont il fonctionne. Et voici une autre chose étrange: Accélération est défini comme le taux de variation de vitesse, ne pas accélérer. Donc, si un objet se ralentit tout en allant dans le sens descendant, et a donc un croissant vitesse - parce que la vitesse devient un négatif plus petit - l'objet a un positif l'accélération. En anglais tous les jours, vous diriez l'objet est en décélération (ralentissement), mais en cours de calcul, vous dire que l'objet a une vitesse négative et une accélération positive. (En passant, "décélération" est pas exactement un terme technique, donc vous devriez probablement éviter en cours de calcul Il est préférable d'utiliser le vocabulaire suivant:. "Accélération positive», «accélération négative", "accélérer", et "ralentir."

Maximum et minimum hauteur de H(t) Se produire à l'extrema locaux que vous voyez dans la figure ci-dessus. Pour les localiser, définir la dérivée de H(t) - Qui est V(t) - Égal à zéro et résoudre.

Ces deux chiffres sont des zéros de V(t) et le t-coordonnées - qui est temps-coordonne - le max et min H(t), Que vous pouvez voir dans la deuxième figure. En d'autres termes, ce sont les moments où le yo-yo atteint ses hauteurs maximales et minimales. Branchez ces chiffres en H(t) Afin d'obtenir des hauteurs:

H (0,47) asymptote 31.1

H (3,53) asymptote 16,9

Donc, le yo-yo obtient aussi élevé que 31,1 pouces environ au-dessus du sol à t asymptote 0,47 secondes et le plus bas de près de 16,9 pouces à t asymptote 3,53 secondes.

Cylindrée totale est défini comme la position finale moins la position initiale. Ainsi, parce que le yo-yo commence à une hauteur de 30 et se termine à une hauteur de 18,

Tdéplacement otal = 18 - 30 = -12.

Ceci est négative parce que le mouvement net est vers le bas.

Vitesse moyenne est donnée par déplacement total divisé par le temps écoulé. Ainsi,

Cette réponse négative vous dit que le yo-yo est, en moyenne, allant vers le bas 3 pouces par seconde.

La vitesse maximale et minimale du yo-yo pendant l'intervalle de 0 à 4 secondes sont déterminés avec le dérivé de V(t): Réglez la dérivée de V(t) - Qui est UN(t) - Égal à zéro et de résoudre:

Maintenant, évaluer V(t) Au nombre critique, 2, et à des points de terminaison de l'intervalle, 0 et 4:

Donc, le yo-yo a une vitesse maximale de 5 pouces par seconde deux fois - à la fois au début et à la fin de l'intervalle. Elle atteint une vitesse minimum de -7 pouces par seconde à t = 2 secondes.

Distance totale parcourue est déterminée en additionnant les distances parcourues sur chaque étape de la tournée du yo-yo: la jambe, la jambe vers le bas, et la seconde jusqu'à la jambe.

Tout d'abord, le yo-yo monte d'une hauteur de 30 pouces à environ 31,1 pouces (où le premier tour autour du point-est). Voilà une distance d'environ 1,1 pouces. Ensuite, il descend d'environ 31,1 à environ 16,9 (la hauteur de la seconde demi-tour point). Voilà une distance de 31,1 moins 16,9, soit environ 14,2 pouces. Enfin, le yo-yo remonte d'environ 16,9 pouces à sa hauteur finale de 18 pouces. Voilà un autre 1,1 pouces. Ajouter ces trois distances pour obtenir la distance totale parcourue: ~ 1.1 ~ + 14.2 + 1.1 ~ asymptote 16,4 pouces.

Vitesse moyenne est donnée par la distance totale parcourue, divisée par le temps écoulé. Ainsi,

Vitesse maximale et minimale. Vous avez déjà déterminé la vitesse maximale du yo-yo (5 pouces par seconde) Et sa vitesse minimale (-7 pouces par seconde). Une vitesse de -7 est une vitesse de 7, de sorte que la vitesse maximale est de le yo-yo. Sa vitesse minimum de zéro se produit aux deux points de retournement.

Pour une continu vitesse fonction, la minimum vitesse est égal à zéro chaque fois que les vitesses maximales et minimales sont de signes opposés ou lorsque l'un d'eux est nul. Lorsque les vitesses maximales et minimales sont à la fois positive ou négative à la fois, alors la minimum la vitesse est la moindre des valeurs absolues des vitesses maximales et minimales. Dans tous les cas, la maximum la vitesse est la plus grand des valeurs absolues des vitesses maximale et minimale. Est-ce une bouchée ou quoi?

L'accélération maximale et minimale peut sembler inutile lorsque vous pouvez simplement regarder le graphique de UN(t) Et de voir que l'accélération minimum de -12 se produit à l'extrême gauche quand t = 0 et que l'accélération va alors à son maximum de 12 à l'extrême droite quand t = 4. Mais il est pas inconcevable que vous obtiendrez l'un de ces professeurs de calcul incroyablement exigeants qui a le culot d'exiger que vous faites réellement les maths et montrez votre travail - afin mordre la balle et le faire.

Pour trouver le min et max de l'accélération de t = 0 et t = 4, réglez la dérivée de UN(t) Égale à zéro et résoudre:

Cette équation, bien sûr, n'a pas de solutions, il n'y a donc pas de nombres critiques et donc la extrema absolue doit se produire à des critères d'évaluation de l'intervalle, 0 et 4.

Vous arrivez à les réponses que vous saviez déjà.

Notez que lorsque l'accélération est négatif - sur l'intervalle [0, 2) - cela signifie que la vitesse est décroissante. Lorsque l'accélération est positif - sur l'intervalle (2, 4] - la vitesse est croissant.

Accélérer et ralentir. Découvrir quand le yo-yo est d'accélérer et de ralentir est probablement plus intéressant et descriptive de son mouvement que l'info ci-dessus. Un objet est d'accélérer (ce que nous appelons "l'accélération" dans le langage courant) chaque fois que la vitesse et l'accélération de calcul sont à la fois positive ou négative à la fois. Et un objet se ralentit (ce que nous appelons "décélération") lorsque la vitesse et l'accélération de calcul sont de signes opposés.

Regardez tous les trois graphiques dans la figure ci-dessus à nouveau. De t = 0 à environ t = 0,47 (lorsque la vitesse est nulle), la vitesse est positive et l'accélération est négative, de sorte que le yo-yo se ralentit ville (jusqu'à ce qu'il atteigne sa hauteur maximale). Quand t = 0, la décélération est plus grande (12 pouces par seconde par seconde- le graphique indique une accélération de la négatif 12, mais ici, nous l'appellerons une décélération de sorte que le 12 est positif). D'environ t = 0,47 à t = 2, à la fois vitesse et l'accélération sont négatifs, de sorte que le yo-yo se ralentit à nouveau (jusqu'au fond à la hauteur la plus basse). Enfin, d'environ t = 3,53 à t = 4, à la fois vitesse et l'accélération sont positifs, de sorte que le yo-yo accélère à nouveau. Le yo-yo atteint sa plus grande accélération de 12 pouces par seconde par seconde à t = 4 secondes.

Mettre tout ensemble. Notez les connexions suivantes entre les trois graphiques dans la figure ci-dessus. La négatif section de la courbe de UN(t) - de t = 0 à t = 2 - correspond à un décroissante section de la courbe de V(t) et un concave vers le bas section du graphique H(t). La positif intervalle de la courbe de UN(t) - de t = 2 à t = 4 - correspond à un croissant intervalle sur le graphique de V(t) Et un concave vers le haut intervalle sur le graphique H(t). Quand t = 2 secondes, UN(t) Présente un zéro, V(t) a un minimum local, et H(t) Présente une point d'inflexion.