Comment calculer la vitesse instantanée avec des limites

Vous pouvez calculer la vitesse instantanée d'un objet en utilisant des limites. Dites que vous et votre chat de calcul épris êtes accroché un jour, et que vous décidez de laisser tomber une balle hors de votre fenêtre du deuxième étage. Voici la formule qui vous indique dans quelle mesure la balle a chuté après un nombre donné de secondes (en ignorant la résistance de l'air):

(où h est la hauteur la balle est tombée, dans les pieds, et t est la quantité de temps puisque la balle a été abandonné, en secondes).

Si vous branchez en 1 t, h 16 est donc la balle tombe 16 pieds pendant la première seconde.

Maintenant, si vous vouliez pour déterminer la vitesse de la balle exactement 1 seconde après que vous laissé tomber? Vous pouvez commencer par fouetter cette formule fidèle ol ':

En utilisant le taux, ou vitesse formule, vous pouvez facilement deviner la vitesse moyenne de la balle lors de la 2e seconde de sa chute. Parce qu'il a chuté de 16 pieds après 1 seconde et un total de 64 pieds après deux secondes, il est tombé de 64 à 16 ou 48 pieds, à partir de t = 1 seconde à t = 2 secondes.

La formule suivante vous donne la vitesse moyenne:

Mais ce ne sont pas la réponse que vous voulez parce que la balle tombe de plus en plus rapide car il descend, et vous voulez savoir sa vitesse exactement 1 seconde après que vous déposez. La balle accélère entre 1 et 2 secondes, de sorte que ce moyenne vitesse de 48 pieds par seconde au cours de la 2ème deuxième est certain d'être plus rapide que la balle de instantané vitesse à la fin de sa 1ère seconde.

Pour une meilleure approximation, calculer la vitesse moyenne entre t = 1 seconde et t = 1,5 secondes.

Sa vitesse moyenne est donc:

Si vous continuez ce processus pour le temps écoulé d'un quart de seconde, un dixième de seconde, puis centième, un millième, et un dix-millième de seconde, vous arrivez à la liste des vitesses moyennes indiquées dans ce tableau.

Comme t se rapproche et plus proche de 1 seconde, les vitesses moyennes semblent se rapprocher et plus proche de 32 pieds par seconde.

Voici la formule que vous pouvez utiliser pour générer les chiffres dans le tableau. Il vous donne la vitesse moyenne entre 1 seconde et t secondes:

La figure suivante montre un graphique de cette équation.

Ce graphique est identique à la courbe de la ligne y = 16t + 16, à l'exception du trou de (1, 32).

Il ya un trou parce que si vous branchez en 1 t dans la fonction de la vitesse moyenne, vous obtenez

qui est indéfini. Et pourquoi avez-vous 0/0? Parce que vous essayez de déterminer une vitesse moyenne - ce qui équivaut à distance totale divisé par temps écoulé - de t = 1 à t = 1. Mais à partir de t = 1 à t = 1 est, bien sûr, non temps, et “ pendant ” ce point dans le temps, la balle ne se déplace pas toute distance, afin que vous obteniez

Évidemment, il ya un problème ici. Accrochez-vous à votre chapeau, vous êtes arrivé à l'un des grands “ Ah ha ”!; moments dans le développement du calcul différentiel.

Vitesse instantanée est défini comme étant la limite de la fonction de vitesse moyenne comme le temps écoulé se rapproche de zéro.

Le fait que le temps écoulé ne devient jamais à zéro ne modifie pas la précision de la réponse à ce problème de limite - la réponse est exactement 32 pieds par seconde, la hauteur du trou sur la figure. Trente-deux est la réponse parce que X se rapproche et plus proche de 1, y se rapproche et plus proche de 32. Ce qui est remarquable à propos de limites est qu'ils vous permettent de calculer la précision, la vitesse instantanée en un seul point dans le temps en prenant la limite d'une fonction qui est basé sur une passé temps, une période entre deux points de temps.