Comment utiliser la fonction langrangian en économie de gestion

Situations d'affaires sont encore compliquées par des contraintes, qui peuvent être pris en compte dans l'économie de gestion en utilisant le Lagrangien

. Peut-être que l'entreprise a signé un contrat pour produire 1000 unités de la bonne quotidien, ou l'entreprise dispose de certains intrants, tels que la taille de l'usine, qui ne peuvent pas être modifiés. Contraintes limitent les options de l'entreprise. Votre but est d'optimiser une fonction sous réserve des limites ou des contraintes.

La Lagrangien est une technique qui combine la fonction optimisée avec des fonctions décrivant la contrainte ou de contraintes en une seule équation. Résolution de la fonction de Lagrange vous permet d'optimiser la variable que vous choisissez, sous réserve des contraintes que vous ne pouvez pas changer.

Comment identifier votre objectif (fonction)

La fonction objectif est la fonction que vous vous souciez. La variable dépendante dans la fonction objectif représente votre objectif - la variable que vous souhaitez optimiser. Des exemples de fonctions objectifs comprennent la fonction de profit pour maximiser le profit et la fonction d'utilité pour les consommateurs afin de maximiser la satisfaction (utilité).

Fonctions de contrainte

UN fonction contrainte représente une limitation sur votre comportement. La variable dépendante de la contrainte représente la limitation. Exemples de fonctions contraintes comprennent le nombre d'unités que vous devez produire pour satisfaire un contrat et le budget disponible pour un consommateur.

Comment construire la fonction de Lagrange

La technique de construction d'une fonction de Lagrange est de combiner la fonction objectif et toutes les contraintes d'une manière qui satisfait à deux conditions. Tout d'abord, la fonction de Lagrange optimisation doit aboutir à l'optimisation de la fonction objective. Deuxièmement, toutes les contraintes doivent être satisfaites. Afin de satisfaire à ces conditions, utiliser les étapes suivantes pour spécifier la fonction de Lagrange.

Assumer u est la variable étant optimisé et qu'il est une fonction des variables X et z. Donc,

En outre, il existe deux contraintes, c₁ et c₂, qui sont également des fonctions de X et z;

Les étapes suivantes établissent la fonction de Lagrange:

1. Respécifier les contraintes afin qu'ils correspondent à zéro.

   
2. 
   
   
   
   

   Multiplier les contraintes par les facteurs lambda et une lambda deux, # 235-₁ et # 235-₂, respectivement (voir plus dans un instant).

   

3. Ajouter les contraintes avec le terme lambda à la fonction objectif afin de former la fonction de Lagrange # 194- '.

   

Dans cette spécification de la fonction de Lagrange, les variables sont représentés par X, z, # 955- ₁, et # 955- ₂. Prenant les dérivées partielles de la lagrangien par rapport à # 955- ₁ et # 955- ₂ et égaux mise à zéro veiller à ce que vos contraintes sont satisfaites, tout en prenant les dérivées partielles de la lagrangien par rapport à X et z et la mise en eux égal à zéro optimiser votre fonction objectif.

Le multiplicateur de Lagrange

Économie de gestion a beaucoup de raccourcis utiles. L'un de ces raccourcis est le # 955- utilisé dans la fonction de Lagrange. Dans la fonction de Lagrange, les contraintes sont multipliés par la variable # 955-, qui est appelé le Multiplicateur de Lagrange.

Cette variable est importante car # 955- mesures le changement qui se produit dans la variable optimisés donnés un changement d'une unité dans la contrainte. Si vous essayez de réduire le coût de production d'une quantité donnée de sortie, # 955- vous indique combien de changements du coût total si vous produisez une autre unité de production. Cela vous permet d'évaluer rapidement les relations entre les contraintes et la variable étant optimisés.

Supposons que votre entreprise a un contrat qui l'oblige à produire 1.000 unités d'un bon jour. La firme utilise travail et du capital pour produire le bien. La quantité de travail employée, L, est mesurée en heures, et le salaire est de 10 $ l'heure. La quantité de capitaux employés, K, est mesurée en heures-machines, et le prix par heure-machine est de 40 $. Ainsi, le coût total de votre entreprise, TC, égal à égal

La fonction de production décrit la relation entre les quantités de travail et le capital utilisé et la quantité de la marchandise produite

Par contrat, q doit être égal à 1,000. Vous devez déterminer la quantité de travail et le capital à utiliser dans le but de minimiser le coût de production des 1000 unités de la bonne.

1. Créer une fonction de Lagrange. Reconnaître que la variable que vous essayez d'optimiser le coût total est - précisément, vous êtes en essayant de minimiser le coût total. Ainsi, votre fonction objectif est 10L + 40K. Deuxièmement, votre contrainte est que 1000 unités de la bonne doivent être produits à partir de la fonction de production. Donc, votre contrainte est

   1000 - 20L^0,5K^0,5 = 0.

   Votre fonction est de Lagrange

   

2. Prenez la dérivée partielle du lagrangien par rapport à la main-d'œuvre et du capital - L et K - et les mettre égal à zéro. Ces équations veiller à ce que la fonction objectif est optimisé - dans ce cas, le coût total est minimisé.

   

3. Prenez la dérivée partielle de la fonction de Lagrange par rapport à # 235- et réglez égal à zéro. Ce dérivé partielle assure que la contrainte - la production de 1000 unités de la bonne quotidienne - est satisfaite.

   

4. Résolvez les trois dérivées partielles simultanément pour les variables L, K, et # 235- pour minimiser le coût total de production de 1000 unités de la bonne.

   Réécrire la dérivée partielle de # 914- 'par rapport à L vous permet de résoudre des # 955-.

   

   En substituant l'équation précédente pour # 955- à la dérivée partielle de # 914- 'par rapport à K rendements

   

5. Suppléant 4K pour L dans la contrainte (la dérivée partielle de L par rapport à # 235-) pour donner

   

   Ainsi, votre entreprise doit utiliser 25 heures machine de capital quotidienne.

   Parce que vous précédemment déterminé L = 4K

   

   Enfin, vous pouvez résoudre pour # 955;

   

   Par conséquent, la combinaison de 100 heures de travail et 25 heures-machines de capital réduisent le coût total de production de 1000 unités de la bonne quotidienne. De plus, # 955- égale 2. Rappelez-vous que lambda indique le changement qui se produit dans la fonction objectif donné une variation d'une unité dans la contrainte. Ainsi, si votre entreprise veut produire une unité supplémentaire du bien, vos augmentations de coût total de 2 $.