Application équations du second degré à des situations de la vie réelle

Équations du second degré se prêtent à la modélisation de situations qui se produisent dans la vie réelle, tels que la montée et la chute des profits de la vente de biens, la diminution et l'augmentation de la quantité de temps qu'il faut pour courir un mile en fonction de votre âge, et ainsi de suite.

La partie merveilleuse d'avoir quelque chose qui peut être modélisé par un quadratique est que vous pouvez facilement résoudre l'équation lorsqu'il est réglé égal à zéro et de prévoir les tendances dans les valeurs de la fonction.

Le sommet et X-intersections sont particulièrement utiles. Ces interceptions vous dire où les numéros changent de positif à négatif ou de négatif à positif, donc vous savez, par exemple, où le terrain est situé dans un problème de physique ou lorsque vous souhaitez commencer à faire un profit ou de perdre de l'argent dans une entreprise.

Le sommet vous indique où vous pouvez trouver le maximum absolu ou un coût minimal, le profit, la vitesse, la hauteur, le temps, ou ce que vous êtes la modélisation.

Exemple de question

1. En 1972, vous pourriez acheter un Mercury Comet pour environ 3200 $. Les voitures peuvent déprécier la valeur assez rapidement, mais un Comet 1972 en parfait état peut valoir beaucoup d'argent à un collectionneur aujourd'hui.

   Soit la valeur de l'une de ces comètes être modélisée par la fonction quadratique v(t) = 18,75t² - 450t + 3200, où t est le nombre d'années depuis 1972. Quelle est la valeur de la fonction égale à 0 (ce qui est un X-interception), ce qui était la plus faible valeur de la voiture, et quelle était sa valeur en 2010?

   La valeur de la voiture n'a jamais chuté à 0, la valeur la plus basse était de 500 $, et la voiture valait 13 175 $ en l'an 2010. Dans ce modèle, la y-l'origine représente la valeur initiale. Quand t = 0, la fonction est v(0) = 3200, ce qui correspond au prix d'achat.

   Trouvez le X-interceptées par la résolution 18.75t² -450t + 3200 = 0. En utilisant la formule quadratique (vous pouvez essayer de l'affacturage, mais il est un peu un défi et, comme il se trouve, l'équation n'a pas de facteur), vous obtenez -37 500 sous le radical dans la formule. Vous ne pouvez pas obtenir une solution de nombre réel, de sorte que le graphique n'a pas X-interception. La valeur de la comète ne jamais descend pas à 0.

   Trouver la plus faible valeur en déterminant le sommet. Utilisation de la formule,

   

   Cette coordonner vous dit que 12 ans depuis le début (1984 - ajouter 12 à 1972), la valeur de la comète est à son plus bas. Remplace le t's dans la formule avec 12, et vous obtenez v(12) = 18,75 (12)² - 450 (12) + 3200 = 500.

   Le Comet valait 500 $ en 1984. Pour trouver la valeur de la voiture en 2010, vous laissez t = 38, parce que l'année 2010 est de 38 ans après 1972. La valeur de la voiture en 2010 est v(38) = 18,75 (38)² - 450 (38) + 3,200 = $ 13,175.

Questions pratiques

1. 
   
   
   
   

   La hauteur d'une balle t secondes après qu'il a jeté dans l'air à partir du haut d'un bâtiment peut être modélisé par h(t) = -16t² + 48t + 64, où h(t) Est la hauteur en pieds. Quel est le bâtiment, quelle hauteur la montée de balle avant de commencer à décliner vers le bas, et après combien de secondes ne le ballon a touché le sol?

2. La fonction de profit dire Georgio combien d'argent il sera net pour produire et vendre X parapluies de spécialité est donnée par P(X) = -0,00405X² + 8.15X - 100.

   Quelle est la perte de Georgio si il ne vend pas des parapluies qu'il produit, combien de parapluies-t-il obligé de vendre à l'équilibre, et combien doit-il vendre pour gagner le plus grand profit possible?

3. Chip a couru à travers un labyrinthe en moins d'une minute la première fois qu'il a essayé. Ses temps se sont améliorées pendant un certain temps avec chaque nouvelle tentative, mais son temps a empiré (il a pris plus) due à la fatigue.

   La quantité de temps Chip a pris à courir à travers le labyrinthe de la une essai peut être modélisée par T(un) = 0,5un² - 9un + 48.5. Combien de temps at-Chip prendre pour exécuter le labyrinthe la première fois, et ce qui était son meilleur temps?

4. Un passage souterrain de l'autoroute est de forme parabolique. Si la courbe du passage inférieur peut être modélisée par h(X) = 50 à 0,02X², où X et h(X) Sont en pieds, alors comment haute est le point le plus élevé du passage souterrain, et comment est-il grand?

Voici les réponses aux questions pratiques:

1. Le bâtiment est de 64 pieds de haut, la balle culmine à 100 pieds, et il prend 4 secondes pour frapper le sol.

   La balle est lancée à partir du haut de l'immeuble, si vous voulez la hauteur de la balle quand t = 0. Ce nombre est l'initiale t valeur ( y-interception). Quand t = 0, h = 64, de sorte que le bâtiment est de 64 pieds de haut.

   La balle est à son plus haut au sommet de la parabole. Calcul de la t valeur, vous obtenez ce que le sommet se produit lorsque t = 1,5 secondes. En substituant t = 1,5 dans la formule, vous obtenez ce que h = 100 pieds.

   Le ballon touche le sol lorsque h = 0. Résolution -16t² + 48t + 64 = 0, vous prenez en compte pour obtenir -16 (t - 4) (t + 1) = 0. La solution t = 4 vous indique quand la balle touche le sol.

   La t = -1 Représente un retour en arrière dans le temps, ou dans ce cas, où la balle aurait commencé si elle avait été lancé à partir du sol - pas le sommet d'un immeuble.

2. Georgio perd 100 $ (gagne - 100 $) si il vend 0, a besoin de vendre 13 à l'équilibre, et de maximiser les profits, si il vend 1.006 parapluies.

   Si Georgio vend pas de parasols, puis X = 0, et il fait un profit négatif (perte) de 100 $. Le point de rupture vient même lorsque les changements de profit du négatif au positif, à un X-interception. En utilisant la formule quadratique, vous obtenez deux interceptions: au X = 2000 et X est d'environ 12,35.

   La première (inférieure) X-interception est où la fonction change de négatif à positif. Le second est où le profit devient une perte encore (trop de parapluies, trop d'heures supplémentaires?). Donc, 13 parapluies donnerait un profit positif - il avait le seuil de rentabilité (avoir un profit nul).

   Le profit maximum se produit au sommet. En utilisant la formule de la X-la valeur du sommet, vous obtenez ce que X est environ 1,006.17. Substituer 1006 dans la formule, vous obtenez alors 4,000.1542- substituant 1007 dans la formule, vous obtenez 4,000.15155.

   Vous voyez que Georgio devient légèrement plus de profit avec 1.006 parapluies, mais cette fraction d'un cent ne signifie pas grand-chose. Il serait encore faire environ 4000 $.

3. Chip a pris 40 secondes de la première Time- son meilleur temps était de 8 secondes.

   Parce que la variable un représente le nombre de la tentative, trouver T(1) pendant le temps de la première tentative. T(1) = 40 secondes. Le meilleur temps (minimum) est au sommet. Résolution pour le un valeur (ce qui est le numéro de l'essai),

   

   Il a eu le meilleur temps sur la neuvième tentative, et T(9) = 8.

4. Le passage souterrain est de 50 pieds de haut et 100 pieds de large.

   

   Le point culminant se produit au sommet:

   

   La X-coordonner le sommet est de 0, de sorte que le sommet est également le y-intercepter, au (0, 50). Les deux X-intersections représentent les extrémités de la largeur de la passerelle. Réglage de 50 à 0,02X² égale à 0, vous résolvez pour X et obtenir X = 50, -50. Ces deux points sont 100 unités de distance - la largeur du passage souterrain.